Encontre os volumes dos sólidos obtidos pela rotação da região delimitada pelas curvas y=x e y=x^{2} em torno das seguintes retas:
a) 0 eixo x

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y=x e y=x^2 em torno do eixo x. Vamos usar o método dos discos (ou anéis): para isso precisamos identificar as interseções das curvas e expressar, em cada x, o raio externo e o raio interno do anel.

Passo 2

Encontramos as interseções resolvendo
x^2 = x
que dá x(x-1)=0, ou seja x=0 e x=1. Logo a região está no intervalo 0\le x\le1, com y variando de y=x^2 (inferior) até y=x (superior).

Passo 3

Ao girar em torno do eixo x, cada fatia em x é um anel de raio externo
R(x)=y_{\text{superior}}=x
e raio interno
r(x)=y_{\text{inferior}}=x^2.
O volume é dado por
V = \pi \int_{0}^{1}\bigl(R(x)^2 - r(x)^2\bigr)\,dx.

Passo 4

Substituindo R(x) e r(x):
V = \pi \int_{0}^{1}\bigl(x^2 - (x^2)^2\bigr)\,dx = \pi \int_{0}^{1}\bigl(x^2 - x^4\bigr)\,dx.
Agora calculamos a integral:
\int_{0}^{1}\bigl(x^2 - x^4\bigr)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2}{15}.

Passo 5

Portanto o volume é
V = \pi \cdot \frac{2}{15} = \frac{2\pi}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{2\pi}{15}

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