Encontre os volumes dos sólidos obtidos pela rotação da região delimitada pelas curvas
e
em torno das seguintes retas:
b) O eixo
b) O eixo
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
a região limitada pelas curvas
e
. Aqui é mais direto usar o método das cascas cilíndricas (shells), pois a rotação é em torno de uma reta vertical e as expressões das curvas estão em função de
.
Passo 2
Primeiro determinamos os pontos de interseção das curvas
Logo,
ou
. A região em
tem como “topo”
e “fundo”
.
Passo 3
No método das cascas, cada fatia vertical em
gera uma casca de raio
, altura igual à diferença das ordenadas na região e espessura
. Assim:
raio ,
altura .
O volume de cada casca é
raio
altura
O volume de cada casca é
Passo 4
Agora integramos de
até
:
Calculemos a integral:
Portanto