Encontre os volumes dos sólidos obtidos pela rotação da região delimitada pelas curvas y=x e y=x^{2} em torno das seguintes retas:
b) O eixo y

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região limitada pelas curvas y=x e y=x^2. Aqui é mais direto usar o método das cascas cilíndricas (shells), pois a rotação é em torno de uma reta vertical e as expressões das curvas estão em função de x.

Passo 2

Primeiro determinamos os pontos de interseção das curvas
x = x^2
x^2 - x = 0
x(x-1)=0
Logo, x=0 ou x=1. A região em x\in[0,1] tem como “topo” y=x e “fundo” y=x^2.

Passo 3

No método das cascas, cada fatia vertical em x gera uma casca de raio x, altura igual à diferença das ordenadas na região e espessura \mathrm{d}x. Assim:
raio =x,
altura =y_{\text{topo}}-y_{\text{fundo}}=x - x^2.
O volume de cada casca é
\mathrm{d}V = 2\pi\,( \text{raio} )(\text{altura})\,\mathrm{d}x = 2\pi\,x\,(x - x^2)\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Agora integramos de x=0 até x=1:
V = \int_{0}^{1}2\pi\,x\,(x - x^2)\,\mathrm{d}x = 2\pi\int_{0}^{1}(x^2 - x^3)\,\mathrm{d}x.
Calculemos a integral:
\int_{0}^{1}(x^2 - x^3)\,\mathrm{d}x = \Bigl[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\Bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{3}-\frac{1}{4} = \frac{1}{12}.
Portanto
V = 2\pi\cdot\frac{1}{12} = \frac{\pi}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{6}

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