Resolva as seguintes integrais:
\int \frac{x^{3}-6 x^{2}+x-3}{x^{2}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{x^{3} - 6x^{2} + x - 3}{x^{2} + 1}\,dx
O conteúdo envolvido é integração de função racional, e vamos usar divisão de polinômios para separar uma parte polinomial de uma parte própria.

Passo 2

Fazendo a divisão de x^{3}-6x^{2}+x-3 por x^{2}+1, obtemos quociente x-6 e resto 3. Logo
\frac{x^{3}-6x^{2}+x-3}{x^{2}+1} = x - 6 + \frac{3}{x^{2}+1}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}, \quad \int (-6)\,dx = -6x, \quad \int \frac{3}{x^{2}+1}\,dx = 3\arctan(x).

Passo 4

Somando os resultados das integrais parciais, temos
\int \frac{x^{3}-6x^{2}+x-3}{x^{2}+1}\,dx = \frac{x^{2}}{2} - 6x + 3\arctan(x) + C.

Resposta

\frac{x^{2}}{2} - 6x + 3\arctan(x) + C

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