Resolva as seguintes integrais:
\int \frac{2 x-1}{x^{2}+4} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{2x-1}{x^{2}+4}\,dx.
O conteúdo envolvido é a decomposição da fração em termos de derivada do denominador (para dar um logaritmo) e a integral padrão de \int 1/(x^{2}+a^{2})\,dx (para dar arctan).

Passo 2

Vamos separar a integral em duas partes lineares:
\int \frac{2x-1}{x^{2}+4}\,dx = \int \frac{2x}{x^{2}+4}\,dx \;-\; \int \frac{1}{x^{2}+4}\,dx.

Passo 3

Para a primeira parte, faça u = x^{2}+4. Então du = 2x\,dx e
\int \frac{2x}{x^{2}+4}\,dx = \int \frac{du}{u} = \ln\lvert u\rvert = \ln(x^{2}+4).

Passo 4

Para a segunda parte, usamos a fórmula
\int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx = \frac{1}{a}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr).
Aqui a^{2}=4, ou seja, a=2. Portanto,
\int \frac{1}{x^{2}+4}\,dx = \frac{1}{2}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).

Passo 5

Somando os dois resultados e adicionando a constante C, chega-se a
\int \frac{2x-1}{x^{2}+4}\,dx = \ln(x^{2}+4) - \tfrac{1}{2}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C.

Resposta

\ln(x^{2}+4) - \tfrac12\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C

Exercícios relacionados