Um tanque contém inicialmente
de água salgada com
de sal dissolvido. Entra no tanque água contendo
de sal por litro à razão de
. A mistura escoa do tanque à razão de
. Ache a quantidade de sal no tanque no instante
.
Passo 1
O enunciado descreve um tanque com volume inicial de 1000 L e 10 kg de sal; entra água a 51 L/min com 0,05 kg/L de sal (logo 2,55 kg/min) e sai mistura a 31 L/min. Isso é um problema de mistura com volume variável e leva a uma EDO linear para a massa de sal S(t).
Passo 2
O volume do tanque varia com o tempo já que a vazão de entrada difere da vazão de saída:
Passo 3
A taxa de variação da massa de sal é dado pela entrada menos a saída de sal:
Passo 4
Para resolver, escrevemos na forma
com
e
. O fator integrante é
Multiplicando a EDO por
Passo 5
Fazendo a integral
por substituição
e aplicando a condição inicial
, chega-se a
Passo 6
Substituindo
de volta e simplificando, obtemos
ou em forma mais enxuta