Um tanque contém inicialmente 1000 ell de água salgada com 10 kg de sal dissolvido. Entra no tanque água contendo 0,05 kg de sal por litro à razão de 51 / min. A mistura escoa do tanque à razão de 31 / min. Ache a quantidade de sal no tanque no instante t.

Passo 1

O enunciado descreve um tanque com volume inicial de 1000 L e 10 kg de sal; entra água a 51 L/min com 0,05 kg/L de sal (logo 2,55 kg/min) e sai mistura a 31 L/min. Isso é um problema de mistura com volume variável e leva a uma EDO linear para a massa de sal S(t).

Passo 2

O volume do tanque varia com o tempo já que a vazão de entrada difere da vazão de saída:
V(t)=1000 + (51-31)t = 1000 + 20t

Passo 3

A taxa de variação da massa de sal é dado pela entrada menos a saída de sal:
dSdt=2,55 - 31V(t),S = 2,55 - 311000+20tS

Passo 4

Para resolver, escrevemos na forma S'+p(t)S=q(t) com p(t)=31/(1000+20t) e q(t)=2,55. O fator integrante é
mu(t)=e^integral p(t)dt=e^integral 311000+20tdt=(1000+20t)^31/20
Multiplicando a EDO por mu(t) e integrando, obtemos
S(t),(1000+20t)^31/20=integral 2,55,(1000+20t)^31/20dt + C

Passo 5

Fazendo a integral integral (1000+20t)^31/20dt por substituição u=1000+20t e aplicando a condição inicial S(0)=10, chega-se a
C=-40,1000^31/20

Passo 6

Substituindo C de volta e simplificando, obtemos
S(t)=0,05(1000+20t)-40,1000^31/20(1000+20t)^-31/20,
ou em forma mais enxuta
S(t)=50 + t - 40l(10001000+20tr)^31/20

Resposta

S(t)=50 + t - 40(10001000+20t)^31/20(kg)

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