Resolver o PVI para
R.
quando
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo que vamos precisar envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e o método das raízes da equação característica para encontrar a solução. Então, vamos seguir passo a passo para achar a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
Essa é uma equação homogênea linear de segunda ordem. Para resolver, começamos encontrando a equação característica associada a ela.
Passo 3
A equação característica é formada substituindo
por
, onde
é uma constante. Fazendo isso, a equação característica fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde, no nosso caso,
,
e
. Substituindo:
Então, temos duas raízes:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Passo 6
Primeiro, aplicamos [y(0) = 1):
Segundo, derivamos
para encontrar
:
Agora, aplicamos
:
Agora temos um sistema de equações:
Resolvendo o sistema, subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo (C_2 = 0] na primeira equação:
Passo 7
Com os valores de
e
encontrados, a solução particular é:
Resposta
A solução do PVI é:
E, de fato, quando
,
tende a infinito.