Resolver o PVI para y=y(t)
y^prime prime+8 y^prime-9 y & =0 y(0) & =1 y^prime(0) & =1
R. y(x)=1 / 10 e^-9(t-1)+9 / 10 e^t-1 infty quando t infty

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo que vamos precisar envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e o método das raízes da equação característica para encontrar a solução. Então, vamos seguir passo a passo para achar a função y(t) .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
y'' + 8y' - 9y = 0
Essa é uma equação homogênea linear de segunda ordem. Para resolver, começamos encontrando a equação característica associada a ela.

Passo 3

A equação característica é formada substituindo y por e^rt , onde r é uma constante. Fazendo isso, a equação característica fica:
r^2 + 8r - 9 = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r . Usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde, no nosso caso, a = 1 , b = 8 e c = -9 . Substituindo:
r = -8 pm raiz64 + 362 = -8 pm raiz1002 = -8 pm 102
Então, temos duas raízes:
r1 = 22 = 1 e r2 = -182 = -9

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t = C1 e^t + C2 e^-9t
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de C1 e C2 .

Passo 6

Primeiro, aplicamos [y(0) = 1):
Segundo, derivamos para encontrar :
Agora, aplicamos :
Agora temos um sistema de equações:
Resolvendo o sistema, subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo (C_2 = 0] na primeira equação:

Passo 7

Com os valores de C1 e C2 encontrados, a solução particular é:
y(t) = 1 cdot e^t + 0 cdot e^-9t = e^t

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = e^t
E, de fato, quando t infty , y(t) tende a infinito.

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