Encontre a y^{\prime} diferenciando implicitamente.
4 \cos x \sin y=1.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a equação
4\cos x\sin y = 1
e queremos encontrar \frac{dy}{dx} aplicando diferenciação implícita. Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, o lado direito é constante, logo sua derivada é zero. No lado esquerdo, as funções \cos x e \sin y são multiplicadas, então aplicamos a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(4\cos x\sin y\bigr) =4\Bigl(\frac{d}{dx}\cos x\cdot\sin y + \cos x\cdot\frac{d}{dx}\sin y\Bigr).
Sabendo que \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x e \frac{d}{dx}\sin y=\cos y\cdot y', temos
4\bigl(-\sin x\sin y + \cos x\cos y\,y'\bigr)=0.

Passo 3

Agora isolamos y'. Primeiro, movemos o termo -4\sin x\sin y para o outro lado:
4\cos x\cos y\,y' = 4\sin x\sin y.
Dividindo ambos os lados por 4\cos x\cos y, obtemos
y' = \frac{\sin x\sin y}{\cos x\cos y} = \tan x\,\tan y.

Resposta

y' = \tan x\,\tan y.

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