Encontre y^{\prime} usando as regras de derivação para:
y=\frac{e^{x}}{2 x}

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\frac{e^{x}}{2x}
e pede para encontrar y', a derivada de y em relação a x. Informações importantes fornecidas:
  • A função é uma razão entre e^{x} e 2x.
  • Deve-se ter cuidado com x=0 (a função não está definida em x=0), então a derivada só faz sentido para x\neq0.
  • O objetivo é obter uma expressão algébrica para y'.

Passo 2

Escolha do método. Existem duas formas naturais de derivar essa função:
  1. Usar a regra do quociente: se y=\dfrac{u}{v} então y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}.
  2. Reescrever como produto com potência e usar a regra do produto: \dfrac{e^{x}}{2x}=\dfrac{1}{2}e^{x}x^{-1}, depois aplicar a regra do produto juntamente com a regra da potência.
Vou usar a segunda (produto + potência) porque reescrever em potências deixa as derivadas diretas e a simplificação final costuma ficar mais limpa — é menos propenso a erros de sinal e mais didático para calcular passo a passo. As duas abordagens são equivalentes.

Passo 3

Reescrevendo a função e declarando as funções auxiliares:
y=\frac{1}{2}\,e^{x}x^{-1}.
Defina u(x)=e^{x} e v(x)=x^{-1}. Assim y=\dfrac{1}{2}\,u(x)v(x).
Agora uso a regra do produto (aplicada a u\cdot v) e o fato de que uma constante fatora para fora da derivada. A regra do produto é:
\frac{d}{dx}[u(x)v(x)]=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

Passo 4

Derivadas das partes:
  • Derivada de u(x)=e^{x} é u'(x)=e^{x}. (Propriedade fundamental: a função exponencial e^{x} é igual à sua própria derivada.)
  • Derivada de v(x)=x^{-1} usa a regra da potência: para v(x)=x^{n} tem-se v'(x)=n x^{n-1}. Aplicando com n=-1:
v'(x)=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}.

Passo 5

Aplicando a regra do produto com a constante \tfrac{1}{2}:
y'=\frac{1}{2}\big(u'v+uv'\big)=\frac{1}{2}\big(e^{x}\cdot x^{-1}+e^{x}\cdot(-x^{-2})\big).
Fatorando e^{x}:
y'=\frac{1}{2}e^{x}\big(x^{-1}-x^{-2}\big).
Colocando em denominação comum x^{2}: x^{-1}-x^{-2}=\dfrac{x}{x^{2}}-\dfrac{1}{x^{2}}=\dfrac{x-1}{x^{2}}. Substituindo:
y'=\frac{1}{2}e^{x}\cdot\frac{x-1}{x^{2}}.

Passo 6

Arrumando a notação final em uma única fração:
y'=\frac{e^{x}(x-1)}{2x^{2}},\qquad x\neq0.
Essa é a forma mais simples e conveniente para usar na prova. Lembre-se: a derivada está definida apenas para x\neq0 porque a função original não existe em x=0.

Resposta

\displaystyle y'=\frac{e^{x}(x-1)}{2x^{2}}

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