Encontre
usando as regras de derivação para:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar
, a derivada de
em relação a
. Informações importantes fornecidas:
- A função é uma razão entre
e . - Deve-se ter cuidado com
(a função não está definida em ), então a derivada só faz sentido para . - O objetivo é obter uma expressão algébrica para
.
Passo 2
Escolha do método. Existem duas formas naturais de derivar essa função:
- Usar a regra do quociente: se
então . - Reescrever como produto com potência e usar a regra do produto:
, depois aplicar a regra do produto juntamente com a regra da potência.
Vou usar a segunda (produto + potência) porque reescrever em potências deixa as derivadas diretas e a simplificação final costuma ficar mais limpa — é menos propenso a erros de sinal e mais didático para calcular passo a passo. As duas abordagens são equivalentes.
Passo 3
Reescrevendo a função e declarando as funções auxiliares:
Defina
e
. Assim
.
Agora uso a regra do produto (aplicada a
) e o fato de que uma constante fatora para fora da derivada. A regra do produto é:
Passo 4
Derivadas das partes:
- Derivada de
é . (Propriedade fundamental: a função exponencial é igual à sua própria derivada.) - Derivada de
usa a regra da potência: para tem-se . Aplicando com :
Passo 5
Aplicando a regra do produto com a constante
:
Fatorando
:
Colocando em denominação comum
:
. Substituindo:
Passo 6
Arrumando a notação final em uma única fração:
Essa é a forma mais simples e conveniente para usar na prova. Lembre-se: a derivada está definida apenas para
porque a função original não existe em
.