Encontre y^{\prime} usando as regras de derivação para:
y=3 x^{2} \cdot e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada y^{\prime} da função dada. Informações fornecidas:
  • A função é y = 3 x^{2} \cdot e^{x}.
  • Queremos y^{\prime}, a derivada de y em relação a x.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (com explicação simples):
  • Regra do produto: se u=u(x) e v=v(x), então
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui u' significa a derivada de u em relação a x, e v' a derivada de v.
  • Derivada de potência: para um inteiro n,
(x^{n})' = n x^{n-1}.
  • Constante fatorada: se c é constante e f função, então
(cf)' = c f'.
  • Derivada da exponencial:
(e^{x})' = e^{x}.
Essas são as ferramentas necessárias: vamos aplicá-las passo a passo.

Passo 3

Identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas (para aplicar a regra do produto):
u(x) = 3 x^{2},\qquad v(x) = e^{x}.
Justificativa: a função dada é exatamente y = u\cdot v.

Passo 4

Calcular as derivadas de u e v separadamente:
  • Para u(x)=3 x^{2}: usar a regra da constante e a derivada de potência.
u'(x) = 3\cdot (x^{2})' = 3\cdot (2x) = 6x.
  • Para v(x)=e^{x}: pela regra da exponencial,
v'(x) = e^{x}.

Passo 5

Aplicar a regra do produto (uv)' = u'v + uv' usando os resultados anteriores:
y' = u'v + uv' = (6x)\cdot e^{x} + (3x^{2})\cdot e^{x}.
Agora simplificar fatorando os termos comuns. Primeiro fator comum e^{x}:
y' = e^{x}\left(6x + 3x^{2}\right).
Em seguida fator comum 3x dentro do parêntese:
y' = e^{x}\cdot 3x\left(2 + x\right).
Reorganizando a ordem típica:
y' = 3x(x+2)\,e^{x}.

Passo 6

Resumo útil para a prova: sempre que aparecer x^{n}e^{x} multiplicado por constante, aplique a regra do produto e depois fatorize e^{x} (ele permanece igual após a derivação). Exemplo rápido parecido: se y = x^{2}e^{x}, então y'=(2x + x^{2})e^{x}=x(x+2)e^{x}. Vai te ajudar a acelerar durante a prova.

Resposta

y' = 3x(x+2)\,e^{x}

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