Encontre y^{\prime} usando as regras de derivação para:
y=\frac{x}{3}+\frac{\ln x}{2}+\sqrt{5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada y' da função
y=\frac{x}{3}+\frac{\ln x}{2}+\sqrt{5}.
Informações e observações importantes que o enunciado dá:
  • A função é soma de três termos: \dfrac{x}{3}, \dfrac{\ln x}{2} e \sqrt{5}.
  • A função \ln x exige x>0, portanto a derivada só é considerada para x>0.
  • O que se pede: encontrar y', ou seja, aplicar regras de diferenciação termo a termo.

Passo 2

Regra que vamos usar primeiro (linearidade da derivada): a derivada da soma é a soma das derivadas, e constantes podem sair da derivada. Em forma simbólica:
\frac{d}{dx}\bigl( u(x)+v(x)+w(x)\bigr)=u'(x)+v'(x)+w'(x)
e
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot u(x)\bigr)=c\cdot u'(x),
onde c é constante. Aqui aplicamos isso aos três termos de y.

Passo 3

Derivada do primeiro termo \dfrac{x}{3}.
Escrevendo como constante vezes x: \dfrac{x}{3}=\dfrac{1}{3}\,x.
Regra usada: \dfrac{d}{dx}x=1 e regra do fator constante.
Portanto
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{3}\right)=\frac{1}{3}\cdot\frac{d}{dx}x=\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}.

Passo 4

Derivada do segundo termo \dfrac{\ln x}{2}.
Escrevendo como constante vezes \ln x: \dfrac{\ln x}{2}=\dfrac{1}{2}\,\ln x.
Regra usada: \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x} (válida para x>0).
Aplicando a regra do fator constante:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\ln x}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{2x}.

Passo 5

Derivada do terceiro termo \sqrt{5}.
Observação: \sqrt{5} é um número fixo (constante), logo a derivada de uma constante é zero:
\frac{d}{dx}\!\left(\sqrt{5}\right)=0.

Passo 6

Agora somar as derivadas parciais obtidas (pela linearidade da derivada). As derivadas dos três termos foram:
  • \dfrac{1}{3} (do primeiro termo),
  • \dfrac{1}{2x} (do segundo termo),
  • 0 (do terceiro termo).
    Somando essas quantias obtemos a derivada y'.

Resposta

y'=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2x}

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