Encontre o zero das seguintes funções, pelo método de Newton e o método da Secante com \varepsilon \leq 0,0005 ou k>6 (quando não for indicado, escolha os pontos iniciais).
f(x)=x^{3}+3 x^{2}-1=0, em [-4,-2] com: x_{0}=1 para Newton, x_{0}=1 e x_{1}=2 para Secante

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o zero da função
f(x)=x^{3}+3x^{2}-1
usando o método de Newton com ponto inicial x_{0}=1 e o método da Secante com pontos iniciais x_{0}=1 e x_{1}=2. O critério de parada é
|x_{n+1}-x_{n}|\le 0{,}0005\quad\text{ou}\quad n>6.
Para o método de Newton precisamos da derivada
f'(x)=3x^{2}+6x
e aplicaremos a iteração
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Para a Secante usamos
x_{n+2}=x_{n+1}-\frac{f(x_{n+1})\,(x_{n+1}-x_{n})}{f(x_{n+1})-f(x_{n})}.

Passo 2

Aplicando Newton:
x_{0}=1
f(1)=3, f′(1)=9 ⇒
x_{1}=1-\frac{3}{9}=0{,}6667.
f(0{,}6667)=0{,}6296, f′(0{,}6667)=5{,}3333 ⇒
x_{2}=0{,}6667-\frac{0{,}6296}{5{,}3333}=0{,}5486.
f(0{,}5486)=0{,}0675, f′(0{,}5486)=4{,}1941 ⇒
x_{3}=0{,}5486-\frac{0{,}0675}{4{,}1941}=0{,}5325.
f(0{,}5325)=0{,}0017, f′(0{,}5325)=4{,}0458 ⇒
x_{4}=0{,}5325-\frac{0{,}0017}{4{,}0458}=0{,}5321.
Como |x_{4}-x_{3}|=0{,}0004<0{,}0005, paramos em n=4 com
x\approx0{,}5321.

Passo 3

Aplicando Secante:
x_{0}=1,\;x_{1}=2
f(1)=3, f(2)=19 ⇒
x_{2}=2-\frac{19\,(2-1)}{19-3}=0{,}8125.
f(0{,}8125)=1{,}5169 ⇒
x_{3}=0{,}8125-\frac{1{,}5169\,(0{,}8125-2)}{1{,}5169-19}=0{,}7094.
f(0{,}7094)=0{,}8663 ⇒
x_{4}=0{,}7094-\frac{0{,}8663\,(0{,}7094-0{,}8125)}{0{,}8663-1{,}5169}=0{,}5721.
f(0{,}5721)=0{,}1691 ⇒
x_{5}=0{,}5721-\frac{0{,}1691\,(0{,}5721-0{,}7094)}{0{,}1691-0{,}8663}=0{,}5388.
f(0{,}5388)=0{,}0275 ⇒
x_{6}=0{,}5388-\frac{0{,}0275\,(0{,}5388-0{,}5721)}{0{,}0275-0{,}1691}=0{,}5324.
f(0{,}5324)=0{,}0015 ⇒
x_{7}=0{,}5324-\frac{0{,}0015\,(0{,}5324-0{,}5388)}{0{,}0015-0{,}0275}=0{,}5320.
Como |x_{7}-x_{6}|=0{,}00037<0{,}0005, paramos em n=7 com
x\approx0{,}5320.

Resposta

Newton: raiz \approx0{,}5321 em 4 iterações.
Secante: raiz \approx0{,}5320 em 7 iterações.

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