Utilize o método do exercício anterior para calcular \sqrt{2} \operatorname{com} \varepsilon=10^{-8} e x_{0}=1,5. Quantas iterações seriam necessárias para encontrar um resultado com a mesma precisão se fosse utilizado o método da bisseção com o intervalo inicial [1,0 ; 2,0] ?

Passo 1

O enunciado pede para usar o método do exercício anterior (que era o método de Newton) para calcular \sqrt{2} com tolerância \varepsilon=10^{-8} a partir de x_{0}=1{,}5, e em seguida comparar quantas iterações seriam necessárias se usássemos o método da bisseção no intervalo [1{,}0,2{,}0] para atingir a mesma precisão.

Passo 2

O método de Newton para resolver f(x)=x^{2}-2=0 usa a iteração
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})} =\;x_{n}-\frac{x_{n}^{2}-2}{2x_{n}} =\frac{1}{2}\Bigl(x_{n}+\frac{2}{x_{n}}\Bigr).
Começando em x_{0}=1{,}5:
\begin{aligned} x_{1}&=\tfrac12\bigl(1{,}5+\tfrac{2}{1{,}5}\bigr)\approx1{,}41666667,\\\ x_{2}&=\tfrac12\bigl(1{,}41666667+\tfrac{2}{1{,}41666667}\bigr)\approx1{,}41421569,\\\ x_{3}&\approx1{,}41421356,\quad x_{4}\approx1{,}4142135623730951. \end{aligned}
Verificamos que |x_{4}-x_{3}|\approx2\times10^{-10}<10^{-8}, logo bastaram 4 iterações de Newton para atingir a precisão pedida.

Passo 3

No método da bisseção, após n iterações o erro máximo na raiz está limitado por
\frac{b-a}{2^{n}}\le\varepsilon,
onde a=1{,}0, b=2{,}0 e \varepsilon=10^{-8}. Assim:
\frac{1{,}0}{2^{n}}\le10^{-8} \quad\Longrightarrow\quad 2^{n}\ge10^{8} \quad\Longrightarrow\quad n\ge\frac{\ln(10^{8})}{\ln2}\approx26{,}58.
Como n deve ser inteiro, precisamos de n=27 iterações.

Resposta

Para o método da bisseção seriam necessárias 27 iterações para alcançar a mesma precisão de 10^{-8}.

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