Encontre o zero das seguintes funções, pelo método de Newton e o método da Secante com \varepsilon \leq 0,0005 ou k>6 (quando não for indicado, escolha os pontos iniciais).
f(x)=x^{3}-2 x^{2}-5=0, no intervalo [1,4], com: x_{0}=4 para Newton; x_{0}=2 e x_{1}=4 para Secante

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a raiz da função
f(x)=x^{3}-2x^{2}-5=0
no intervalo [1,4], usando dois métodos numéricos:
– Método de Newton com ponto inicial x_{0}=4.
– Método da Secante com pontos iniciais x_{0}=2 e x_{1}=4.
Adotamos como critério de parada \varepsilon\le0,0005 ou k>6.

Passo 2

Resolução pelo método de Newton. A fórmula iterativa é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
onde
f(x)=x^{3}-2x^{2}-5,\quad f'(x)=3x^{2}-4x.
Com x_{0}=4 temos:
– Iteração 1:
f(4)=64-32-5=27,\quad f'(4)=48-16=32,
x_{1}=4-\frac{27}{32}\approx3,15625.
– Iteração 2:
f(3,15625)\approx6,5174,\quad f'(3,15625)\approx17,2578,
x_{2}\approx3,15625-\frac{6,5174}{17,2578}\approx2,7786.
– Iteração 3:
f(2,7786)\approx1,0100,\quad f'(2,7786)\approx12,0444,
x_{3}\approx2,7786-\frac{1,0100}{12,0444}\approx2,6947.
– Iteração 4:
f(2,6947)\approx0,0450,\quad f'(2,6947)\approx11,0040,
x_{4}\approx2,6947-\frac{0,0450}{11,0040}\approx2,6906.
– Iteração 5:
f(2,6906)\approx-0,0018,\quad f'(2,6906)\approx10,9498,
x_{5}\approx2,6906-\frac{-0,0018}{10,9498}\approx2,6908,
e \bigl|x_{5}-x_{4}\bigr|\approx0,00016<0,0005, portanto parámos em k=5. A raiz aproximada é
x\approx2,6908.

Passo 3

Resolução pelo método da Secante. A fórmula é
x_{n+2}=x_{n+1}-f(x_{n+1})\;\frac{x_{n+1}-x_{n}}{f(x_{n+1})-f(x_{n})}.
Com x_{0}=2 e x_{1}=4:
– Iteração 1:
f(2)=-5,\;f(4)=27,\quad x_{2}=4-\;27\cdot\frac{4-2}{27-(-5)}\approx2,3125.
– Iteração 2:
f(2,3125)\approx-3,3477,\;f(4)=27,\quad x_{3}\approx2,4986.
– Iteração 3:
f(2,4986)\approx-1,8790,\;f(2,3125)\approx-3,3477,\quad x_{4}\approx2,7369.
– Iteração 4:
f(2,7369)\approx0,5209,\;f(2,4986)\approx-1,8790,\quad x_{5}\approx2,6852.
– Iteração 5:
f(2,6852)\approx-0,0683,\;f(2,7369)\approx0,5209,\quad x_{6}\approx2,6912.
– Iteração 6:
f(2,6912)\approx0,0059,\;f(2,6852)\approx-0,0683,\quad x_{7}\approx2,6911,
e \bigl|x_{7}-x_{6}\bigr|\approx0,00005<0,0005, parámos em k=7. A raiz aproximada é
x\approx2,6911.

Resposta

Método de Newton: x\approx2,6908.
Método da Secante: x\approx2,6911.

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