Exercício 1) Desenhe a superfície
. Ache uma função, com seu respectivo domínio, de modo que a superfície
seja o gráfico dessa função. Calcule a área de
, nos seguintes casos:
é parte da superfície cilíndrica
, no primeiro oct ante, interior a superficie cilíndrica
Passo 1
O enunciado nos dá a parte da superfície cilíndrica definida por
restrita ao primeiro octante (
,
,
) e interior ao cilindro
Pede-se (a) escrever
como gráfico de uma função
com seu domínio
e (b) calcular a área de
.
Passo 2
Como estamos no primeiro octante, temos
. Da equação
segue
Logo podemos tomar
O domínio
é dado pelas condições
-
, , - interior ao cilindro
.
Portanto
Passo 3
Para a área do gráfico de
usamos a fórmula
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais:
Assim o integrando fica
Passo 5
Montamos a integral dupla em coordenadas cartesianas:
Passo 6
Primeiro integramos em
:
Logo
Resposta
A área de
é
.