Exercício 1) Desenhe a superfície S. Ache uma função, com seu respectivo domínio, de modo que a superfície S seja o gráfico dessa função. Calcule a área de S, nos seguintes casos:
S é parte da superfície cilíndrica z^{2}+x^{2}=4, no primeiro oct ante, interior a superficie cilíndrica x^{2}+y^{2}=4 .

Passo 1

O enunciado nos dá a parte da superfície cilíndrica definida por
z^{2} + x^{2} = 4
restrita ao primeiro octante ( x\ge0, y\ge0, z\ge0) e interior ao cilindro
x^{2} + y^{2} = 4.
Pede-se (a) escrever S como gráfico de uma função z=f(x,y) com seu domínio D e (b) calcular a área de S.

Passo 2

Como estamos no primeiro octante, temos z\ge0. Da equação z^{2}+x^{2}=4 segue
z = \sqrt{4 - x^{2}}.
Logo podemos tomar
f(x,y) = \sqrt{4 - x^{2}}.
O domínio D é dado pelas condições
  1. x\ge0, y\ge0,
  2. interior ao cilindro x^{2}+y^{2}\le4.
    Portanto
D = \bigl\{(x,y)\mid 0\le x\le2,\;0\le y\le\sqrt{4 - x^{2}}\bigr\}.

Passo 3

Para a área do gráfico de z=f(x,y) usamos a fórmula
A = \iint_{D} \sqrt{1 + \bigl(f_{x}\bigr)^{2} + \bigl(f_{y}\bigr)^{2}}\;dx\,dy.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
f_{x}(x,y) = \frac{d}{dx}\sqrt{4 - x^{2}} = -\,\frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}, \qquad f_{y}(x,y) = 0.
Assim o integrando fica
\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4 - x^{2}}} = \sqrt{\frac{4 - x^{2} + x^{2}}{4 - x^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{4 - x^{2}}}.

Passo 5

Montamos a integral dupla em coordenadas cartesianas:
A = \int_{x=0}^{2}\!\int_{y=0}^{\sqrt{4 - x^{2}}} \frac{2}{\sqrt{4 - x^{2}}}\;dy\,dx.

Passo 6

Primeiro integramos em y:
\int_{y=0}^{\sqrt{4 - x^{2}}}\!dy = \sqrt{4 - x^{2}}.
Logo
A = \int_{0}^{2} \frac{2}{\sqrt{4 - x^{2}}}\,\bigl(\sqrt{4 - x^{2}}\bigr)\,dx = \int_{0}^{2} 2\,dx = 2\bigl[\,x\bigr]_{0}^{2} = 4.

Resposta

A área de S é 4.

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