onde \delta(t-2) é o impulso unitário em t=2. Vamos resolver em duas regiões: 0\le t<2 (sem o impulso) e t>2, usando continuidade de y e o salto em y' imposto pelo \delta.
Passo 2
Para 0\le t<2 a equação é
y''+y=1.
A solução geral é a soma da homogênea y_h=A\cos t+B\sin t e de uma particular constante y_p=1, pois ao colocar y=1 dá 0+1=1. Logo
y_1(t)=A\cos t+B\sin t+1.
Passo 3
Aplicamos as condições iniciais em t=0:
y_1(0)=A+1=0 \quad\Rightarrow\quad A=-1,
y_1'(t)=-A\sin t+B\cos t \quad\Rightarrow\quad y_1'(0)=B=1.
Assim
y_1(t)=-\cos t+\sin t+1, \quad y_1'(t)=\sin t+\cos t \quad(0\le t<2).
Passo 4
Para incorporar o impulso em t=2, integramos a equação de 2^- a 2^+: