Resolva o PVI
\text { a) }\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+y=1+\delta(t-2) \\\ y(0)=0 \\\ y^{\prime}(0)=1 \end{array}\right.

Passo 1

O problema é o valor inicial
y''+y=1+\delta(t-2), \quad y(0)=0,\quad y'(0)=1,
onde \delta(t-2) é o impulso unitário em t=2. Vamos resolver em duas regiões: 0\le t<2 (sem o impulso) e t>2, usando continuidade de y e o salto em y' imposto pelo \delta.

Passo 2

Para 0\le t<2 a equação é
y''+y=1.
A solução geral é a soma da homogênea y_h=A\cos t+B\sin t e de uma particular constante y_p=1, pois ao colocar y=1 0+1=1. Logo
y_1(t)=A\cos t+B\sin t+1.

Passo 3

Aplicamos as condições iniciais em t=0:
y_1(0)=A+1=0 \quad\Rightarrow\quad A=-1,
y_1'(t)=-A\sin t+B\cos t \quad\Rightarrow\quad y_1'(0)=B=1.
Assim
y_1(t)=-\cos t+\sin t+1, \quad y_1'(t)=\sin t+\cos t \quad(0\le t<2).

Passo 4

Para incorporar o impulso em t=2, integramos a equação de 2^- a 2^+:
\int_{2^-}^{2^+}y''\,dt+\int_{2^-}^{2^+}y\,dt =\int_{2^-}^{2^+}1\,dt+\int_{2^-}^{2^+}\delta(t-2)\,dt.
Como \int y\,dt e \int1\,dt tendem a zero em intervalo infinitesimal, sobra
[y']_{2^-}^{2^+}=1.
Portanto y é contínua em 2 e
y'(2^+)=y'(2^-)+1.

Passo 5

Para t>2 voltamos a resolver
y''+y=1
com solução geral
y_2(t)=C\cos t+D\sin t+1.
As condições de junção em t=2 são
y_2(2)=y_1(2), \quad y_2'(2)=y_1'(2)+1.

Passo 6

Calculamos y_1(2)=-\cos2+\sin2+1 e y_1'(2)=\sin2+\cos2. Impondo
C\cos2+D\sin2+1=-\cos2+\sin2+1, \quad -\,C\sin2+D\cos2=\sin2+\cos2+1,
resolvendo obtemos
C=-1-\sin2, \quad D=1+\cos2.
Logo para t>2
y_2(t)=(-1-\sin2)\cos t+(1+\cos2)\sin t+1.

Resposta

Para 0\le t<2:
y(t)=-\cos t+\sin t+1.
Para t>2:
y(t)=(-1-\sin2)\cos t+(1+\cos2)\sin t+1.

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