Um encontro educacional contou com a participação de profissionais, de três áreas distintas, sendo eles 9 Químicos, 5 Físicos e 4 Matemáticos. Ao final do encontro, o grupo resolveu criar uma comissão de 12 profissionais para representá-lo em um congresso. Tendo sido estabelecido que cada comissão devesse ser constituída por exatamente 6 Químicos, no mínimo 2 Físicos e no máximo 4 Matemáticos?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um grupo de profissionais divididos em três áreas: 9 Químicos, 5 Físicos e 4 Matemáticos. Queremos formar uma comissão de 12 pessoas com as seguintes condições:
- Exatamente 6 Químicos
- Pelo menos 2 Físicos
- No máximo 4 Matemáticos
Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinações, que nos ajuda a calcular de quantas maneiras podemos escolher um grupo sem se preocupar com a ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher os 6 Químicos. Como temos 9 Químicos disponíveis, a quantidade de maneiras de escolher 6 deles é dada por:
Passo 3
Agora, precisamos escolher as demais pessoas para completar a comissão de 12. Já escolhemos 6 Químicos, então faltam mais 6 pessoas que devem ser escolhidas entre Físicos e Matemáticos, respeitando as condições:
- Pelo menos 2 Físicos
- No máximo 4 Matemáticos
Vamos pensar em todas as combinações possíveis que atendem a essas condições.
Passo 4
Vamos representar o número de Físicos escolhidos por
e o número de Matemáticos por
. Sabemos que:
Então, as possíveis combinações são:
Observação:
não é válido porque temos apenas 5 Físicos disponíveis.
Passo 5
Agora, vamos calcular o número de maneiras para cada uma dessas combinações.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora, vamos calcular cada uma dessas combinações:
-
:
-
:
-
:
-
:
Passo 7
Agora, somamos todas essas possibilidades para obter o total de maneiras de escolher os Físicos e Matemáticos:
Passo 8
Finalmente, multiplicamos o número de maneiras de escolher os Químicos pelo total de maneiras de escolher os Físicos e Matemáticos:
Calculando:
Resposta
Existem 7056 maneiras diferentes de formar a comissão obedecendo às condições estabelecidas.