Um encontro educacional contou com a participação de profissionais, de três áreas distintas, sendo eles 9 Químicos, 5 Físicos e 4 Matemáticos. Ao final do encontro, o grupo resolveu criar uma comissão de 12 profissionais para representá-lo em um congresso. Tendo sido estabelecido que cada comissão devesse ser constituída por exatamente 6 Químicos, no mínimo 2 Físicos e no máximo 4 Matemáticos?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um grupo de profissionais divididos em três áreas: 9 Químicos, 5 Físicos e 4 Matemáticos. Queremos formar uma comissão de 12 pessoas com as seguintes condições:
  • Exatamente 6 Químicos
  • Pelo menos 2 Físicos
  • No máximo 4 Matemáticos
Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinações, que nos ajuda a calcular de quantas maneiras podemos escolher um grupo sem se preocupar com a ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher os 6 Químicos. Como temos 9 Químicos disponíveis, a quantidade de maneiras de escolher 6 deles é dada por:
binom96

Passo 3

Agora, precisamos escolher as demais pessoas para completar a comissão de 12. Já escolhemos 6 Químicos, então faltam mais 6 pessoas que devem ser escolhidas entre Físicos e Matemáticos, respeitando as condições:
  • Pelo menos 2 Físicos
  • No máximo 4 Matemáticos
Vamos pensar em todas as combinações possíveis que atendem a essas condições.

Passo 4

Vamos representar o número de Físicos escolhidos por x e o número de Matemáticos por y . Sabemos que:
x + y = 6
x >= 2
y <= 4
Então, as possíveis combinações são:
  • (x, y) = (2, 4)
  • (x, y) = (3, 3)
  • (x, y) = (4, 2)
  • (x, y) = (5, 1)
Observação: (6, 0) não é válido porque temos apenas 5 Físicos disponíveis.

Passo 5

Agora, vamos calcular o número de maneiras para cada uma dessas combinações.
  1. Para (2, 4) :
binom52 times binom44
  1. Para (3, 3) :
binom53 times binom43
  1. Para (4, 2) :
binom54 times binom42
  1. Para (5, 1) :
binom55 times binom41

Passo 6

Agora, vamos calcular cada uma dessas combinações:
  1. (2, 4) :
binom52 = 10, binom44 = 1 10 times 1 = 10
  1. (3, 3) :
binom53 = 10, binom43 = 4 10 times 4 = 40
  1. (4, 2) :
binom54 = 5, binom42 = 6 5 times 6 = 30
  1. (5, 1) :
binom55 = 1, binom41 = 4 1 times 4 = 4

Passo 7

Agora, somamos todas essas possibilidades para obter o total de maneiras de escolher os Físicos e Matemáticos:
10 + 40 + 30 + 4 = 84

Passo 8

Finalmente, multiplicamos o número de maneiras de escolher os Químicos pelo total de maneiras de escolher os Físicos e Matemáticos:
binom96 times 84
Calculando:
binom96 = 84 84 times 84 = 7056

Resposta

Existem 7056 maneiras diferentes de formar a comissão obedecendo às condições estabelecidas.

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