(Encontro de Matemática da Duke de 2024 - modificada) Seja
. Então a soma dos algarismos de
é igual a:
a)4
b) 5
c) 6
d) 7
e)8
a)4
b) 5
c) 6
d) 7
e)8
Passo 1
O enunciado dá a soma dupla
e pede: qual é a soma dos algarismos de
? (alternativas:
).
Dados importantes que temos do enunciado:
Dados importantes que temos do enunciado:
- As variáveis
e variam independentemente por e . - Cada termo é
.
O objetivo final é calcular a soma dos algarismos do número.
Passo 2
Faça a mudança de variável natural
. Para um par
com
temos
. Reescrevemos a soma reunindo pares com mesma soma
:
Aqui, para um
fixo, a soma interna em
vai, de fato, pelos valores de
tais que
e
, ou seja
varia por
. Note que
quando
e
fora do intervalo necessário, então a fórmula acima coincide com a soma padrão usada em identidades combinatórias.
Passo 3
Usamos a identidade de Vandermonde (explicada de forma combinatória): para inteiros
,
Interpretação combinatória (aula rápida e intuitiva): imagine um conjunto com
elementos de um grupo A e
elementos de um grupo B; para escolher
elementos do total
, pode-se escolher
de A e
de B. Somando sobre todas as possibilidades de
conta-se todas as escolhas de
elementos, então a soma dos produtos
dá
.
Aplicando com
,
e
obtemos, para cada
,
Como comentado no passo anterior, os termos fora do intervalo
são nulos, então a soma interna que aparece em
é exatamente
para cada
.
Passo 4
Portanto, para cada
de
a
a soma interna vale
. Logo
Passo 5
Calculemos
passo a passo:
Agora simplificando convenientemente:
então o numerador/denominador restante dá
Calculando em etapas:
,
,
,
,
. Ops — perceba que esse caminho de cancelamento deu um produto
, mas é mais seguro usar o cálculo direto ou a divisão final. Fazendo a divisão direta:
Portanto
.
Passo 6
Agora
Calculemos:
e
. Somando,
Passo 7
A soma dos algarismos de
é
Vamos lá: conseguiu — chegamos ao número final.
Resposta
6