(Encontro de Matemática da Duke de 2024 - modificada) Seja S= \sum_{m=0}^{6} \sum_{n=0}^{6}\binom{12-m-n}{6-m}\binom{m+n}{m}. Então a soma dos algarismos de S é igual a:
a)4
b) 5
c) 6
d) 7
e)8

Passo 1

O enunciado dá a soma dupla
S= \sum_{m=0}^{6} \sum_{n=0}^{6}\binom{12-m-n}{6-m}\binom{m+n}{m},
e pede: qual é a soma dos algarismos de S? (alternativas: 4,5,6,7,8).
Dados importantes que temos do enunciado:
  • As variáveis m e n variam independentemente por \,0\le m\le6 e 0\le n\le6.
  • Cada termo é \displaystyle \binom{12-m-n}{6-m}\binom{m+n}{m}.
    O objetivo final é calcular a soma dos algarismos do número S.

Passo 2

Faça a mudança de variável natural k=m+n. Para um par (m,n) com 0\le m,n\le6 temos 0\le k\le12. Reescrevemos a soma reunindo pares com mesma soma k:
S=\sum_{k=0}^{12}\;\sum_{\substack{m=0\n=k-m}}^{6}\binom{12-k}{6-m}\binom{k}{m}.
Aqui, para um k fixo, a soma interna em m vai, de fato, pelos valores de m tais que 0\le m\le6 e 0\le k-m\le6, ou seja m varia por \max(0,k-6)\le m\le\min(6,k). Note que \binom{k}{m}=0 quando m>k e \binom{12-k}{6-m}=0 fora do intervalo necessário, então a fórmula acima coincide com a soma padrão usada em identidades combinatórias.

Passo 3

Usamos a identidade de Vandermonde (explicada de forma combinatória): para inteiros a,b,r,
\sum_{m}\binom{a}{m}\binom{b}{r-m}=\binom{a+b}{r}.
Interpretação combinatória (aula rápida e intuitiva): imagine um conjunto com a elementos de um grupo A e b elementos de um grupo B; para escolher r elementos do total a+b, pode-se escolher m de A e r-m de B. Somando sobre todas as possibilidades de m conta-se todas as escolhas de r elementos, então a soma dos produtos \binom{a}{m}\binom{b}{r-m} \binom{a+b}{r}.
Aplicando com a=k, b=12-k e r=6 obtemos, para cada k,
\sum_{m}\binom{k}{m}\binom{12-k}{6-m}=\binom{12}{6}.
Como comentado no passo anterior, os termos fora do intervalo \max(0,k-6)\le m\le\min(6,k) são nulos, então a soma interna que aparece em S é exatamente \binom{12}{6} para cada k.

Passo 4

Portanto, para cada k de 0 a 12 a soma interna vale \binom{12}{6}. Logo
S=\sum_{k=0}^{12}\binom{12}{6}=13\binom{12}{6}.

Passo 5

Calculemos \binom{12}{6} passo a passo:
\binom{12}{6}=\frac{12!}{6!\,6!}=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Agora simplificando convenientemente:
\frac{12}{6}=2,\quad \frac{10}{5}=2,\quad \frac{9}{3}=3,\quad \frac{8}{4}=2,
então o numerador/denominador restante dá
\binom{12}{6}=2\cdot11\cdot2\cdot3\cdot2\cdot7.
Calculando em etapas: 2\cdot11=22, 22\cdot2=44, 44\cdot3=132, 132\cdot2=264, 264\cdot7=1848. Ops — perceba que esse caminho de cancelamento deu um produto \,1848, mas é mais seguro usar o cálculo direto ou a divisão final. Fazendo a divisão direta:
\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7}{720}=\frac{665280}{720}=924.
Portanto \displaystyle \binom{12}{6}=924.

Passo 6

Agora
S=13\cdot924.
Calculemos: 924\cdot10=9240 e 924\cdot3=2772. Somando,
S=9240+2772=12012.

Passo 7

A soma dos algarismos de S=12012 é
1+2+0+1+2=6.
Vamos lá: conseguiu — chegamos ao número final.

Resposta

6

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