Encreva a equação reduzida da elipse, com centro na origem e que passa por A=(3,2) e B=(1,4).

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos a equação reduzida de uma elipse com centro na origem que passa por A=(3,2) e B=(1,4). O conteúdo envolve a forma padrão da elipse e a determinação de a e b.

Passo 2

Na forma reduzida padrão, a elipse centralizada na origem tem equação
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Como os pontos A e B pertencem à elipse, suas coordenadas satisfazem essa equação.

Passo 3

Substituindo A=(3,2) e B=(1,4), obtemos o sistema
9a^2 + 4b^2 = 1,
1a^2 + 16b^2 = 1

Passo 4

Para eliminar 1b^2, multiplica-se a primeira equação por 4 e subtrai-se a segunda:
36a^2 + 16b^2 = 4,
l(tfrac36a^2 + tfrac16b^2r) - l(tfrac1a^2 + tfrac16b^2r) = 4 - 1
resultando em
35a^2 = 3 Longrightarrow a^2 = 353

Passo 5

Substituindo a^2 = tfrac353 na primeira equação:
935/3 + 4b^2 = 1 Longrightarrow 2735 + 4b^2 = 1 Longrightarrow 4b^2 = 835 Longrightarrow b^2 = 352

Passo 6

Com a^2 = tfrac353 e b^2 = tfrac352, a equação reduzida é
x^235/3 + y^235/2 = 1
Multiplicando por 35 obtemos a forma equivalente
3x^2 + 2y^2 = 35

Resposta

A equação reduzida da elipse é
x^235/3 + y^235/2 = 1,
ou de forma simplificada,
3x^2 + 2y^2 = 35

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