\end{tabular}
- Em cada, identifique a superfície descrita em coordenadas cilíndricas.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
.
- Identifique a região do
descrita em coordenadas esféricas por:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
Passo 1
O enunciado pede para identificarmos superfícies dadas em coordenadas cilíndricas (item 2) e regiões ou superfícies dadas em coordenadas esféricas (item 3). Vamos usar as relações
para a parte cilíndrica, e
para a parte esférica.
Passo 2
Relações de conversão cilíndrica para cartesiano:
Com isso, podemos traduzir cada equação em termos de
.
Passo 3
(2a)
. Isso significa
que é o cilindro circular de raio
com eixo no eixo
.
Passo 4
(2b)
. Como
é a reta que, vista de cima, faz
com o eixo
, a superfície é o semiplano que contém o eixo
e forma
no plano
.
Passo 5
(2c)
. Substituindo
dá
ou seja, é um cone circular com vértice na origem e abertura tal que
.
Passo 6
(2d)
. Em cartesiano,
que é um elipsoide de revolução em torno do eixo
.
Passo 7
(2e)
. Isso vira
ou seja, a esfera de raio
centrada na origem.
Passo 8
(2f)
. Como
e
, temos
É um cilindro circular de raio
cujo eixo é paralelo a
e deslocado para
.
Passo 9
Relações de conversão esférica para cartesiano:
Vamos traduzir cada caso.
Passo 10
(3a)
. Como
, fica
ou seja, esfera de centro
e raio
.
Passo 11
(3b)
. Como
e
, temos
que é o cilindro de raio
paralelo a
.
Passo 12
(3c)
. Semiplano contendo o eixo
que faz
no plano
.
Passo 13
(3d)
. Como
varia em
, não há pontos reais satisfazendo isso.
Passo 14
(3e)
. É um cone circular de semiângulo
em torno do eixo
.
Passo 15
(3f)
. Fatora-se
logo
ou
. A solução não trivial
é a esfera de raio
.
Passo 16
(3g)
. Como
, é o plano
Passo 17
(3h)
. Como
, temos
ou seja, esfera de centro
e raio
.
Passo 18
(3i)
. É o plano que passa pelo eixo
e satisfaz
Passo 19
(3j)
. É a esfera de raio
centrada na origem.
Passo 20
(3k)
. Fatorando,
ou seja, região entre as esferas de raios
e
.
Passo 21
(3l)
. Como
e
,
pois
e
. É o paraboloide de revolução
.
Resposta
(a) Cilindro de raio
com eixo
.
(b) Semiplano formando no plano
contendo o eixo
.
(c) Cone circular com vértice na origem e .
(d) Elipsoide de revolução .
(e) Esfera de raio centrada na origem.
(f) Cilindro de raio paralelo a
e deslocado para
.
(b) Semiplano formando
(c) Cone circular com vértice na origem e
(d) Elipsoide de revolução
(e) Esfera de raio
(f) Cilindro de raio
(a) Esfera de centro
, raio
.
(b) Cilindro de raio paralelo a
.
(c) Semiplano a no plano
.
(d) Vazio (nenhum ponto).
(e) Cone de semiângulo .
(f) Esfera de raio .
(g) Plano .
(h) Esfera de centro , raio
.
(i) Plano .
(j) Esfera de raio .
(k) Casca esférica .
(l) Paraboloide .
(b) Cilindro de raio
(c) Semiplano a
(d) Vazio (nenhum ponto).
(e) Cone de semiângulo
(f) Esfera de raio
(g) Plano
(h) Esfera de centro
(i) Plano
(j) Esfera de raio
(k) Casca esférica
(l) Paraboloide