\end{tabular}
  1. Em cada, identifique a superfície descrita em coordenadas cilíndricas.
    (a) r=4
    (b) theta=pi / 4
    (c) z=2 r
    (d) 3 r^2+z^2=9
    (e) r^2+z^2=16
    (f) r sec theta=4.
  2. Identifique a região do R^3 descrita em coordenadas esféricas por:
    (a) rho=6 cos theta sen varphi
    (b) rho=5 cosec varphi
    (c) theta=pi / 6
    (d) cos varphi=4
    (e) varphi=pi / 4
    (f) rho^2-3 rho=0
    (g) rho cos theta sen varphi=1
    (h) rho=2 cos varphi
    (i) tan theta=4
    (j) rho=a
    (k) rho^2-3 rho+2 <= 0
    (l) rho=cosec varphi cotg varphi

Passo 1

O enunciado pede para identificarmos superfícies dadas em coordenadas cilíndricas (item 2) e regiões ou superfícies dadas em coordenadas esféricas (item 3). Vamos usar as relações
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z
para a parte cilíndrica, e
x = rhosinvarphicostheta, y = rhosinvarphisintheta, z = rhocosvarphi
para a parte esférica.

Passo 2

Relações de conversão cilíndrica para cartesiano:
r = raizx^2 + y^2, theta = tan^-1!l(y/xr), z = z
Com isso, podemos traduzir cada equação em termos de x,y,z.

Passo 3

(2a) r=4. Isso significa
raizx^2 + y^2 = 4,
que é o cilindro circular de raio 4 com eixo no eixo z.

Passo 4

(2b) theta=pi/4. Como theta=pi/4 é a reta que, vista de cima, faz 45^circ com o eixo x, a superfície é o semiplano que contém o eixo z e forma 45^circ no plano xy.

Passo 5

(2c) z=2r. Substituindo r=raizx^2+y^2
z = 2raizx^2 + y^2,
ou seja, é um cone circular com vértice na origem e abertura tal que tan(meio ângulo)=2â.

Passo 6

(2d) 3r^2 + z^2 = 9. Em cartesiano,
3(x^2 + y^2) + z^2 = 9,
que é um elipsoide de revolução em torno do eixo z.

Passo 7

(2e) r^2 + z^2 = 16. Isso vira
x^2 + y^2 + z^2 = 16,
ou seja, a esfera de raio 4 centrada na origem.

Passo 8

(2f) rsectheta = 4. Como sectheta = 1/costheta e costheta = x/r, temos
rcostheta = 4 Longrightarrow x^2+y^2x = 4 Longrightarrow x^2 - 4x + y^2 = 0 Longrightarrow (x-2)^2 + y^2 = 4
É um cilindro circular de raio 2 cujo eixo é paralelo a z e deslocado para x=2.

Passo 9

Relações de conversão esférica para cartesiano:
x = rhosinvarphicostheta, y = rhosinvarphisintheta, z = rhocosvarphi
Vamos traduzir cada caso.

Passo 10

(3a) rho = 6costheta,senvarphi. Como senvarphicostheta = x/rho, fica
rho = 6,xrho Longrightarrow rho^2 = 6x Longrightarrow x^2+y^2+z^2 = 6x Longrightarrow (x-3)^2 + y^2 + z^2 = 9,
ou seja, esfera de centro (3,0,0) e raio 3.

Passo 11

(3b) rho = 5cosecvarphi. Como cosecvarphi = 1/senvarphi e rhosenvarphi = r, temos
rho = 5senvarphi Longrightarrow r = 5,
que é o cilindro de raio 5 paralelo a z.

Passo 12

(3c) theta = pi/6. Semiplano contendo o eixo z que faz 30^circ no plano xy.

Passo 13

(3d) cosvarphi = 4. Como cosvarphi varia em [-1,1], não há pontos reais satisfazendo isso.

Passo 14

(3e) varphi = pi/4. É um cone circular de semiângulo pi/4 em torno do eixo z.

Passo 15

(3f) rho^2 - 3rho = 0. Fatora-se
rho(rho - 3) = 0
logo rho=0 ou rho=3. A solução não trivial rho=3 é a esfera de raio 3.

Passo 16

(3g) rhocostheta,senvarphi = 1. Como rhosenvarphicostheta = x, é o plano
x = 1

Passo 17

(3h) rho = 2cosvarphi. Como cosvarphi = z/rho, temos
rho = 2,zrho Longrightarrow rho^2 = 2z Longrightarrow x^2+y^2+z^2 = 2z Longrightarrow x^2+y^2+(z-1)^2 = 1,
ou seja, esfera de centro (0,0,1) e raio 1.

Passo 18

(3i) tantheta = 4. É o plano que passa pelo eixo z e satisfaz
y/x = 4 Longrightarrow y = 4x

Passo 19

(3j) rho = a. É a esfera de raio a centrada na origem.

Passo 20

(3k) rho^2 - 3rho + 2 <= 0. Fatorando,
(rho - 1)(rho - 2) <= 0 Longrightarrow 1 <= rho <= 2,
ou seja, região entre as esferas de raios 1 e 2.

Passo 21

(3l) rho = cosecvarphi,cotgvarphi. Como cosecvarphi = 1/senvarphi e cotgvarphi = cosvarphi/senvarphi,
rho = cosvarphisen^2varphi Longrightarrow rho,sen^2varphi = cosvarphi Longrightarrow r^2 = z
pois r = rhosenvarphi e z = rhocosvarphi. É o paraboloide de revolução z = x^2 + y^2.

Resposta

(a) Cilindro de raio 4 com eixo z.
(b) Semiplano formando 45^circ no plano xy contendo o eixo z.
(c) Cone circular com vértice na origem e z=2r.
(d) Elipsoide de revolução 3(x^2+y^2)+z^2=9.
(e) Esfera de raio 4 centrada na origem.
(f) Cilindro de raio 2 paralelo a z e deslocado para x=2.
(a) Esfera de centro (3,0,0), raio 3.
(b) Cilindro de raio 5 paralelo a z.
(c) Semiplano a 30^circ no plano xy.
(d) Vazio (nenhum ponto).
(e) Cone de semiângulo pi/4.
(f) Esfera de raio 3.
(g) Plano x=1.
(h) Esfera de centro (0,0,1), raio 1.
(i) Plano y=4x.
(j) Esfera de raio a.
(k) Casca esférica 1<=rho<=2.
(l) Paraboloide z = x^2 + y^2.

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