(Enem 2019) A Hydrangea macrophylla é uma planta com flor azul ou cor-de-rosa, dependendo do pH do solo no qual está plantada. Em solo ácido (ou seja, com pH < 7) a flor é azul, enquanto que em solo alcalino (ou seja, com pH > 7) a flor é rosa. Considere que a Hydrangea cor-de-rosa mais valorizada comercialmente numa determinada região seja aquela produzida em solo com pH inferior a 8. Sabe-se que pH =-\log 10 x, em que x é a concentração de íon hidrogênio ( \mathrm{H}^{+}).
Para produzir a Hydrangea cor-de-rosa de maior valor comercial, deve-se preparar o solo de modo que x assuma
A) qualquer valor acima de 10^{-8}.
B) qualquer valor positivo inferior a 10^{-7}.
C) valores maiores que 7 e menores que 8 .
D) valores maiores que 70 e menores que 80.
E) valores maiores que 10^{-8} e menores que 10^{-7}.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede que determinemos o intervalo de valores de x (concentração de \mathrm{H}^+) que produzam a Hydrangea cor-de-rosa de maior valor comercial.
Informações do enunciado:
  • Em solo ácido ( \text{pH}<7) a flor é azul.
  • Em solo alcalino ( \text{pH}>7) a flor é cor-de-rosa.
  • A Hydrangea cor-de-rosa mais valorizada é a produzida em solo com \text{pH} < 8.
  • A relação entre pH e concentração é \text{pH} = -\log_{10} x, onde x é a concentração de \mathrm{H}^+ (um número positivo).
O que o problema pede:
  • Determinar para quais valores de x devemos preparar o solo para obter a Hydrangea cor-de-rosa de maior valor comercial (ou seja, encontrar o intervalo de x que corresponde às condições necessárias).

Passo 2

Primeiro juntamos as condições necessárias para a flor ser cor-de-rosa e para ser a mais valorizada:
  • Para ser cor-de-rosa é preciso \text{pH} > 7.
  • Para ser a mais valorizada é preciso \text{pH} < 8.
Combinando as duas condições obtemos a desigualdade
7 < \text{pH} < 8.

Passo 3

Agora substituímos a fórmula \text{pH} = -\log_{10} x na desigualdade:
7 < -\log_{10} x < 8.
Explicação rápida do que significa \log_{10} x: é o número que, elevado a base 10, dá x. Por exemplo, \log_{10}(10^{-3}) = -3. Para resolver desigualdades com logaritmo, podemos usar a função inversa 10^{(\cdot)}, lembrando que a função y \mapsto 10^y é estritamente crescente (mantém a ordem das desigualdades).

Passo 4

Multiplicamos a desigualdade por -1. Ao multiplicar por número negativo, a ordem das desigualdades se inverte:
-7 > \log_{10} x > -8.
Reescrevendo na ordem crescente:
-8 < \log_{10} x < -7.
Agora aplicamos a função exponencial de base 10 em todos os lados. Como 10^{y} é crescente, a direção das desigualdades se mantém:
10^{-8} < x < 10^{-7}.
Isto significa que a concentração de íon \mathrm{H}^+ deve ser maior que 10^{-8} e menor que 10^{-7}.

Passo 5

Interpretação final em palavras (para ficar claro e você levar isso pra prova): queremos um pH entre 7 e 8; isso corresponde a concentrações x entre 10^{-8} e 10^{-7}. Portanto, qualquer x que satisfaça
10^{-8} < x < 10^{-7}
gera o solo adequado para a Hydrangea cor-de-rosa mais valorizada.

Resposta

E

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