(Enem 2019) A Hydrangea macrophylla é uma planta com flor azul ou cor-de-rosa, dependendo do pH do solo no qual está plantada. Em solo ácido (ou seja, com pH < 7) a flor é azul, enquanto que em solo alcalino (ou seja, com pH > 7) a flor é rosa. Considere que a Hydrangea cor-de-rosa mais valorizada comercialmente numa determinada região seja aquela produzida em solo com pH inferior a 8. Sabe-se que pH
x, em que x é a concentração de íon hidrogênio (
).
Para produzir a Hydrangea cor-de-rosa de maior valor comercial, deve-se preparar o solo de modo que x assuma
A) qualquer valor acima de
.
B) qualquer valor positivo inferior a
.
C) valores maiores que 7 e menores que 8 .
D) valores maiores que 70 e menores que 80.
E) valores maiores que
e menores que
.
Para produzir a Hydrangea cor-de-rosa de maior valor comercial, deve-se preparar o solo de modo que x assuma
A) qualquer valor acima de
B) qualquer valor positivo inferior a
C) valores maiores que 7 e menores que 8 .
D) valores maiores que 70 e menores que 80.
E) valores maiores que
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede que determinemos o intervalo de valores de
(concentração de
) que produzam a Hydrangea cor-de-rosa de maior valor comercial.
Informações do enunciado:
- Em solo ácido (
) a flor é azul. - Em solo alcalino (
) a flor é cor-de-rosa. - A Hydrangea cor-de-rosa mais valorizada é a produzida em solo com
. - A relação entre pH e concentração é
, onde é a concentração de (um número positivo).
O que o problema pede:
- Determinar para quais valores de
devemos preparar o solo para obter a Hydrangea cor-de-rosa de maior valor comercial (ou seja, encontrar o intervalo de que corresponde às condições necessárias).
Passo 2
Primeiro juntamos as condições necessárias para a flor ser cor-de-rosa e para ser a mais valorizada:
- Para ser cor-de-rosa é preciso
. - Para ser a mais valorizada é preciso
.
Combinando as duas condições obtemos a desigualdade
Passo 3
Agora substituímos a fórmula
na desigualdade:
Explicação rápida do que significa
: é o número que, elevado a base
, dá
. Por exemplo,
. Para resolver desigualdades com logaritmo, podemos usar a função inversa
, lembrando que a função
é estritamente crescente (mantém a ordem das desigualdades).
Passo 4
Multiplicamos a desigualdade por
. Ao multiplicar por número negativo, a ordem das desigualdades se inverte:
Reescrevendo na ordem crescente:
Agora aplicamos a função exponencial de base
em todos os lados. Como
é crescente, a direção das desigualdades se mantém:
Isto significa que a concentração de íon
deve ser maior que
e menor que
.
Passo 5
Interpretação final em palavras (para ficar claro e você levar isso pra prova): queremos um pH entre
e
; isso corresponde a concentrações
entre
e
. Portanto, qualquer
que satisfaça
gera o solo adequado para a Hydrangea cor-de-rosa mais valorizada.
Resposta
E