(Enem 2a aplicaçāo 2016) O governo de uma cidade está preocupado com a possivel epidemia de uma doença infectocontagiosa causada por bactéria. Para decidir que medidas tomar, deve calcular a velocidade de reproduçäo da bactéria. Em experiências laboratoriais de uma cultura bacteriana, inicialmente com 40 mil unidades, obteve-se a fórmula para a população:
p(t)=40 \cdot 2^{3 t}
em que t é o tempo, em hora, e \rho(t) é a população, em milhares de bactérias.
Em relação à quantidade inicial de bactérias, após 20 min, a população será
a) reduzida a um terço.
b) reduzida à metade.
c) reduzida a dois terços.
d) duplicada.
e) triplicada.

Passo 1

O enunciado dá a população bacteriana em função do tempo por
p(t)=40\cdot 2^{3t},
onde t é o tempo em horas e p(t) é a população em milhares de bactérias. A pergunta é: em relação à quantidade inicial de bactérias, após 20 minutos a população será qual das alternativas (a)–(e)? Listei as informações importantes:
  • População inicial: p(0).
  • Fórmula da população: p(t)=40\cdot 2^{3t}.
  • Tempo pedido: 20 minutos (é preciso converter para horas).
  • Alternativas qualitativas: reduzida a um terço, à metade, a dois terços, duplicada, triplicada.

Passo 2

Converter 20 minutos para horas. Lembre: 1 hora =60 minutos, então
t=\frac{20}{60}=\frac{1}{3}\\ \text{hora}.
Sempre que a função usa horas e o enunciado dá minutos, é obrigatório fazer essa conversão antes de substituir.

Passo 3

Calcular a população inicial p(0). Substituindo t=0 na fórmula:
p(0)=40\cdot 2^{3\cdot 0}=40\cdot 2^{0}=40\cdot 1=40.
Interpretação: p(0)=40 significa 40 milhares de bactérias, ou seja 40{,}000 bactérias.

Passo 4

Calcular a população após 20 minutos, isto é p\!\left(\tfrac{1}{3}\right). Substituindo t=\tfrac{1}{3}:
p\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=40\cdot 2^{3\cdot \tfrac{1}{3}}=40\cdot 2^{1}=40\cdot 2=80.
Interpretação: 80 significa 80 milhares de bactérias, ou seja 80{,}000 bactérias.

Passo 5

Comparar com a quantidade inicial. A razão entre a população em t=\tfrac{1}{3} e a inicial é
\frac{p\!\left(\tfrac{1}{3}\right)}{p(0)}=\frac{80}{40}=2.
Isso significa que a população ficou 2 vezes a inicial — ou seja, foi duplicada.

Resposta

d) duplicada.

Exercícios relacionados