(Imed 2015) Em um experimento no laboratório de pesquisa, observou-se que o numero de bactérias de uma determinada cultura, sob certas condições, evolui conforme a função B(t)=10 \cdot 3^{t-1}, em que B(t) expressa a quantidade de bactérias e t representa o tempo em horas. Para atingir uma cultura de 810 bactérias, após o inicio do experimento, o tempo decorrido, em horas, corresponde a:
a) 1 .
b) 2 .
c) 3 .
d) 4 .
е) 5 .

Passo 1

O enunciado dá a função da população de bactérias em função do tempo:
B(t)=10\cdot 3^{t-1},
onde B(t) é a quantidade de bactérias e t é o tempo em horas. A pergunta é: “Para atingir uma cultura de 810 bactérias, após o início do experimento, qual é o tempo decorrido (em horas)?” As alternativas são: (a) 1, (b) 2, (c) 3, (d) 4, (e) 5.

Passo 2

Traduzir a pergunta em uma equação: queremos o valor de t tal que B(t)=810. Então escrevemos
10\cdot 3^{t-1}=810.

Passo 3

Isolar a parte exponencial dividindo ambos os lados por 10:
3^{t-1}=\frac{810}{10}=81.

Passo 4

Reconhecer 81 como potência de 3. Fazer uma pequena lista de potências de 3 para ver qual dá 81:
3^1=3,\qquad 3^2=9,\qquad 3^3=27,\qquad 3^4=81.
Portanto 81=3^4. Como as bases são iguais e diferentes de 1, podemos igualar os expoentes:
t-1=4.

Passo 5

Resolver a equação simples para t:
t=4+1=5.
Logo o tempo decorrido é 5 horas.

Passo 6

Verificação substituindo t=5 na expressão original:
B(5)=10\cdot 3^{5-1}=10\cdot 3^{4}=10\cdot 81=810,
confirmando que t=5 está correto.

Passo 7

(Método alternativo — caso as potências não sejam óbvias) Tomando logaritmo dos dois lados em 3^{t-1}=81
t-1=\frac{\ln(81)}{\ln(3)},
e então
t=1+\frac{\ln(81)}{\ln(3)}=1+\frac{\ln(3^4)}{\ln(3)}=1+\frac{4\ln(3)}{\ln(3)}=1+4=5.
Esse método funciona sempre que a potência não for imediatamente reconhecível.

Resposta

e) 5

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