(Ucs 2015) A concentração C de certa substància no organismo altera-se em função do tempo t, em horas, decorrido desde sua administraçalo, de acordo com a expressio C(t)=K \cdot 3^{-0,5 t}.
Após quantas horas a concentração da substância no organismo tomou-se a nona parte da inicial?

Passo 1

O enunciado dá a concentração em função do tempo: C(t)=K\cdot 3^{-0,5 t}.
Pede-se: após quantas horas a concentração tomou-se a nona parte da inicial?
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • A concentração inicial é C(0)=K.
  • Queremos encontrar t tal que C(t)=\dfrac{C(0)}{9}=\dfrac{K}{9}.

Passo 2

Escrevo a equação que expressa o pedido, substituindo C(t) e a nona parte da inicial:
K\cdot 3^{-0,5 t}=\frac{K}{9}.

Passo 3

Posso simplificar a equação cancelando K dos dois lados (assumindo K\neq0, caso contrário a concentração seria sempre zero):
3^{-0,5 t}=\frac{1}{9}.

Passo 4

Transformo o lado direito em potência de base 3. Como 9=3^{2}, tem-se \dfrac{1}{9}=3^{-2}. Portanto:
3^{-0,5 t}=3^{-2}.

Passo 5

Usando a propriedade das potências: se a^{x}=a^{y} e a>0, a\neq1, então x=y. Aqui a base é 3, logo igualam-se os expoentes:
-0,5\,t=-2.

Passo 6

Resolvo a equação para t. Multiplico por -1 e divido por 0,5:
0,5\,t=2\quad\Rightarrow\quad t=\frac{2}{0,5}=4.

Passo 7

Cheque rápido: substituindo t=4 em C(t),
C(4)=K\cdot 3^{-0,5\cdot 4}=K\cdot 3^{-2}=\frac{K}{9},
confirmando que a concentração é realmente a nona parte da inicial.

Resposta

t=4\\ \text{horas}

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