A energia potencial associada à interação do dipolo magnético da bússola com o campo magnético da Terra é
em que
é o ângulo entre
e
. Para
pequeno,
em que
. Aplicando a lei de conservação da energia ao movimento da agulha da bússola, temos
Essa expressão é semelhante à da conservação da energia mecânica em um sistema massa-mola:
que nos dá
. Assim, por analogia, temos
o que nos dá
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o momento de dipolo magnético
da agulha da bússola a partir da frequência angular de pequenas oscilações.
Informações fornecidas (vou listar todas, com os valores numéricos já em notação adequada):
Para ângulos pequenos:
com
.
A conservação de energia para a oscilação small-angle foi dada:
Dados numéricos:
Fórmula a usar (por analogia com sistema massa-mola apresentada):
O objetivo final aqui é isolar
e calcular numericamente usando
apropriado para a agulha.
Passo 2
Entendendo a aproximação de ângulo pequeno (didático e intuitivo):
Quando é pequeno (em radianos), podemos aproximar a função cosseno pela expansão em série:
Quando
Aqui ignoramos os termos de ordem
e maiores porque para pequenas
eles são muito menores. Essa aproximação transforma a energia potencial em uma forma quadrática em
, igual à de uma mola:
. Isso significa que, para pequenas oscilações, a força restauradora (ou o torque restaurador) é proporcional a
, o que gera movimento harmônico simples.
Passo 3
Interpretando
como constante de “torque-elástico” e relacionando com torque físico:
A derivada de em relação a
dá o torque restaurador (com sinal negativo):
A derivada de
Outra forma de ver o torque é pelo produto vetorial entre
e
: o módulo do torque é
. Para
pequeno,
, então
Comparando com
obtemos de maneira consistente
Passo 4
Equação do movimento rotacional e frequência natural:
A segunda lei rotacional (análogo a ) diz que o torque líquido é igual a
vezes a aceleração angular:
A segunda lei rotacional (análogo a
Rearranjando:
Isso é a equação do movimento harmônico simples com
logo
Passo 5
Isolando
:
A partir de obtemos
A partir de
Agora precisamos do momento de inércia
da agulha. Para uma barra fina e uniforme de massa
e comprimento
girando em torno do seu centro, o momento de inércia é
(Essa expressão vem da integração da distribuição de massa de uma barra; eu não vou derivar integralmente aqui, mas é uma fórmula padrão: massa concentrada ao longo do comprimento com eixo passando pelo centro.)
Substituindo em
:
Passo 6
Cálculo numérico passo a passo (cada passo com unidades):
Calcule :
Calcule
Calcule
:
Calcule
:
Multiplique
por
(isso dá unidades de
):
Calcule o denominador
:
Agora divida para obter
(unidade
):
Passo 7
Arredondamento e interpretação final:
Arredondando para duas ou três algarismos significativos (consistentes com os dados fornecidos), obtemos
Arredondando para duas ou três algarismos significativos (consistentes com os dados fornecidos), obtemos
Unidade
é equivalente a
(momento magnético), então esse valor representa o momento magnético da agulha.