A energia potencial associada à interação do dipolo magnético da bússola com o campo magnético da Terra é
U=-\vec{\mu} \cdot \vec{B}_{T}=-\mu B_{T} \cos \theta
em que \theta é o ângulo entre \vec{\mu} e \vec{B}_{T}. Para \theta pequeno,
U(\theta)=-\mu B_{T} \cos \theta \approx-\mu B_{T}\left(1-\frac{\theta^{2}}{2}\right)=\frac{1}{2} \kappa \theta^{2}-\mu B_{T}
em que \kappa=\mu B_{T}. Aplicando a lei de conservação da energia ao movimento da agulha da bússola, temos
\frac{1}{2} I\left(\frac{d \theta}{d t}\right)^{2}+\frac{1}{2} \kappa \theta^{2}=\text { const. }
Essa expressão é semelhante à da conservação da energia mecânica em um sistema massa-mola:
\frac{1}{2} m\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\frac{1}{2} k x^{2}=\text { const. }
que nos dá \omega=\sqrt{k / m}. Assim, por analogia, temos
\omega=\sqrt{\frac{\kappa}{I}}=\sqrt{\frac{\mu B_{t}}{I}}=\sqrt{\frac{\mu B_{T}}{m l^{2} / 12}},
o que nos dá
\mu=\frac{m l^{2} \omega^{2}}{12 B_{T}}=\frac{(0,050 \mathrm{~kg})\left(4,0 \times 10^{-2} \mathrm{~m}\right)^{2}(45 \mathrm{rad} / \mathrm{s})^{2}}{12\left(16 \times 10^{-6} \mathrm{~T}\right)}=8,4 \times 10^{2} \mathrm{~J} / \mathrm{T} .

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o momento de dipolo magnético \mu da agulha da bússola a partir da frequência angular de pequenas oscilações.
Informações fornecidas (vou listar todas, com os valores numéricos já em notação adequada):
U=-\vec{\mu}\cdot\vec{B}_{T}=-\mu B_{T}\cos\theta
Para ângulos pequenos:
U(\theta)\approx-\mu B_{T}\left(1-\frac{\theta^{2}}{2}\right)=\frac{1}{2}\kappa\theta^{2}-\mu B_{T}
com \kappa=\mu B_{T}.
A conservação de energia para a oscilação small-angle foi dada:
\frac{1}{2}I\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^{2}+\frac{1}{2}\kappa\theta^{2}=\text{const.}
Dados numéricos:
m=0,050\\ \mathrm{kg},\qquad l=4,0\times 10^{-2}\\ \mathrm{m},\qquad \omega=45\\ \mathrm{rad/s},\qquad B_{T}=16\times 10^{-6}\\ \mathrm{T}.
Fórmula a usar (por analogia com sistema massa-mola apresentada):
\omega=\sqrt{\frac{\kappa}{I}}=\sqrt{\frac{\mu B_{T}}{I}}.
O objetivo final aqui é isolar \mu e calcular numericamente usando I apropriado para a agulha.

Passo 2

Entendendo a aproximação de ângulo pequeno (didático e intuitivo):
Quando \theta é pequeno (em radianos), podemos aproximar a função cosseno pela expansão em série:
\cos\theta \approx 1-\frac{\theta^{2}}{2}+\text{termos de ordem superior}.
Aqui ignoramos os termos de ordem \theta^{4} e maiores porque para pequenas \theta eles são muito menores. Essa aproximação transforma a energia potencial em uma forma quadrática em \theta, igual à de uma mola: U\approx\frac{1}{2}\kappa\theta^{2}+(\text{constante}). Isso significa que, para pequenas oscilações, a força restauradora (ou o torque restaurador) é proporcional a \theta, o que gera movimento harmônico simples.

Passo 3

Interpretando \kappa como constante de “torque-elástico” e relacionando com torque físico:
A derivada de U em relação a \theta dá o torque restaurador (com sinal negativo):
\tau(\theta)=-\frac{dU}{d\theta}=-\kappa \theta.
Outra forma de ver o torque é pelo produto vetorial entre \vec{\mu} e \vec{B}_{T}: o módulo do torque é \tau=\mu B_{T}\sin\theta. Para \theta pequeno, \sin\theta\approx\theta, então
\tau\approx -\mu B_{T}\theta.
Comparando com \tau=-\kappa\theta obtemos de maneira consistente
\kappa=\mu B_{T}.

Passo 4

Equação do movimento rotacional e frequência natural:
A segunda lei rotacional (análogo a F=ma) diz que o torque líquido é igual a I vezes a aceleração angular:
I\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}=\tau=-\kappa\theta.
Rearranjando:
\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\frac{\kappa}{I}\theta=0.
Isso é a equação do movimento harmônico simples com
\omega^{2}=\frac{\kappa}{I}=\frac{\mu B_{T}}{I},
logo
\omega=\sqrt{\frac{\mu B_{T}}{I}}.

Passo 5

Isolando \mu:
A partir de \omega^{2}=\dfrac{\mu B_{T}}{I} obtemos
\mu=\frac{I\omega^{2}}{B_{T}}.
Agora precisamos do momento de inércia I da agulha. Para uma barra fina e uniforme de massa m e comprimento l girando em torno do seu centro, o momento de inércia é
I=\frac{1}{12} m l^{2}.
(Essa expressão vem da integração da distribuição de massa de uma barra; eu não vou derivar integralmente aqui, mas é uma fórmula padrão: massa concentrada ao longo do comprimento com eixo passando pelo centro.)
Substituindo em \mu:
\mu=\frac{\left(\dfrac{1}{12} m l^{2}\right)\omega^{2}}{B_{T}}=\frac{m l^{2}\omega^{2}}{12 B_{T}}.

Passo 6

Cálculo numérico passo a passo (cada passo com unidades):
Calcule \,l^{2}:
l^{2}=(4,0\times 10^{-2}\\ \mathrm{m})^{2}=1,6\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^{2}.
Calcule m l^{2}:
m l^{2}=(0,050\\ \mathrm{kg})(1,6\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^{2})=8,0\times 10^{-5}\\ \mathrm{kg\cdot m}^{2}.
Calcule \omega^{2}:
\omega^{2}=(45\\ \mathrm{rad/s})^{2}=2025\\ \mathrm{s}^{-2}.
Multiplique m l^{2} por \omega^{2} (isso dá unidades de \mathrm{kg\;m^{2}/s^{2}}=\mathrm{J}):
m l^{2}\omega^{2}=(8,0\times 10^{-5})(2025)=0,162\\ \mathrm{J}.
Calcule o denominador 12 B_{T}:
12 B_{T}=12\left(16\times 10^{-6}\\ \mathrm{T}\right)=192\times 10^{-6}\\ \mathrm{T}=1,92\times 10^{-4}\\ \mathrm{T}.
Agora divida para obter \mu (unidade \mathrm{J/T}):
\mu=\frac{0,162\\ \mathrm{J}}{1,92\times 10^{-4}\\ \mathrm{T}}=843{,}75\\ \mathrm{J/T}.

Passo 7

Arredondamento e interpretação final:
Arredondando para duas ou três algarismos significativos (consistentes com os dados fornecidos), obtemos
\mu\approx 8,4\times 10^{2}\\ \mathrm{J/T}.
Unidade \mathrm{J/T} é equivalente a \mathrm{A\cdot m^{2}} (momento magnético), então esse valor representa o momento magnético da agulha.

Resposta

\displaystyle 8,4\times 10^{2}\\ \mathrm{J/T}

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