Questão 1 Mostre que se y_{1}(t) e y_{2}(t)=y_{1}(t) \int \frac{e^{-f}(t) d t}{y_{1}(t)^{2}} d t são soluções da EDO linear de 2^{a} ordem homogênea y^{\prime \prime}+p(t) y^{\prime}+q(t) y=0 (onde y_{2} é obtida de y_{1} pelo método da Redução de Ordem), então elas são soluções fundamentais.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
y'' + p(t)\,y' + q(t)\,y = 0
e uma solução conhecida y_{1}(t). Pelo método da redução de ordem, define-se
F(t)=\int p(t)\,dt
e obtém-se
y_{2}(t)=y_{1}(t)\,\int \frac{e^{-F(t)}}{y_{1}(t)^{2}}\,dt.
Precisamos mostrar que \{y_{1},y_{2}\} forma um conjunto fundamental de soluções, isto é, que são linearmente independentes.

Passo 2

Para verificar a independência linear de y_{1} e y_{2}, usamos o critério do wronskiano. Definimos
W(t)=W[y_{1},y_{2}](t)= \begin{vmatrix} y_{1}(t) & y_{2}(t)\\\ y_{1}'(t) & y_{2}'(t) \end{vmatrix} = y_{1}(t)\,y_{2}'(t)-y_{1}'(t)\,y_{2}(t).
Se W(t)\neq 0 para todo t no intervalo considerado, então y_{1} e y_{2} são linearmente independentes.

Passo 3

Escrevendo
y_{2}(t)=y_{1}(t)\,u(t), \quad \text{onde} \quad u(t)=\int \frac{e^{-F(t)}}{y_{1}(t)^{2}}\,dt,
temos, pela regra do produto,
y_{2}'(t)=y_{1}'(t)\,u(t)+y_{1}(t)\,u'(t).
Mas por definição de u(t),
u'(t)=\frac{e^{-F(t)}}{y_{1}(t)^{2}}.

Passo 4

Substituindo em W(t):
W(t) = y_{1}(t)\bigl[y_{1}'(t)\,u(t)+y_{1}(t)\,u'(t)\bigr] - y_{1}'(t)\bigl[y_{1}(t)\,u(t)\bigr],
os termos com u(t) se cancelam, restando
W(t)=y_{1}(t)^{2}\,u'(t) = y_{1}(t)^{2}\,\frac{e^{-F(t)}}{y_{1}(t)^{2}} = e^{-F(t)}.
Como F(t)=\int p(t)\,dt é contínuo, e^{-F(t)}>0 para todo t. Logo
W(t)\neq 0\quad\forall t.

Resposta

As soluções y_{1} e y_{2} são linearmente independentes e, portanto, formam um conjunto fundamental de soluções da equação dada.

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