Estude quanto ao máximo e ao minimo a função z=x y sujeita à restrição x+4 y-8=0.

Passo 1

O enunciado pede para estudar os extremos da função z = x\,y sob a restrição linear
x + 4y - 8 = 0.
O conteúdo é otimização com restrição e vamos usar o método de substituição: primeiro expressamos uma variável em função da outra a partir da restrição, depois obtemos uma função de uma só variável e achamos seus extremos.

Passo 2

Da restrição
x + 4y - 8 = 0
isolamos y:
y = \frac{8 - x}{4}.

Passo 3

Substituímos em z = x\,y para obter uma função univariada
z(x) = x \cdot \frac{8 - x}{4} = \frac{8x - x^2}{4}.

Passo 4

Para encontrar os extremos, calculamos a derivada e igualamos a zero:
z'(x) = \frac{8 - 2x}{4},\quad z'(x)=0 \;\Longrightarrow\; 8 - 2x = 0 \;\Longrightarrow\; x = 4.
A segunda derivada é
z''(x) = -\frac{2}{4} = -\tfrac12 < 0,
logo x=4 é ponto de máximo local. Substituindo x=4 em y=(8-x)/4 y=1 e
z_{\max} = 4 \cdot 1 = 4.
Como o coeficiente de x^2 em z(x) é negativo, a parábola é voltada para baixo, então não há valor mínimo de z (ela tende a -\infty conforme \lvert x\rvert\to\infty).

Resposta

O valor máximo de z é 4, obtido em (x,y)=(4,1). Não existe valor mínimo de z.

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