Estude quanto ao máximo e ao minimo a função
sujeita à restrição
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar os extremos da função
sob a restrição linear
O conteúdo é otimização com restrição e vamos usar o método de substituição: primeiro expressamos uma variável em função da outra a partir da restrição, depois obtemos uma função de uma só variável e achamos seus extremos.
Passo 2
Da restrição
isolamos
:
Passo 3
Substituímos em
para obter uma função univariada
Passo 4
Para encontrar os extremos, calculamos a derivada e igualamos a zero:
A segunda derivada é
logo
é ponto de máximo local. Substituindo
em
dá
e
Como o coeficiente de
em
é negativo, a parábola é voltada para baixo, então não há valor mínimo de
(ela tende a
conforme
).
Resposta
O valor máximo de
é
, obtido em
. Não existe valor mínimo de
.