(UFSCAR) Se o ponteiro dos minutos de um relógio mede 12 centímetros, o número que melhor aproxima a distância em centímetros percorrida por sua extremidade em 20 minutos é: (considere \pi=3,14 )
a) 37,7 \mathrm{~cm}.
b) 25,1 \mathrm{~cm}.
c) 20 cm .
d) 12 cm .
e) 3,14 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado pede: qual é o número que melhor aproxima a distância, em centímetros, percorrida pela extremidade do ponteiro dos minutos em 20 minutos.
Informações dadas: o comprimento do ponteiro (raio) é 12\\ \mathrm{cm} e \pi=3,14. As alternativas são 37,7\\ \mathrm{cm}, 25,1\\ \mathrm{cm}, 20\\ \mathrm{cm}, 12\\ \mathrm{cm} e 3,14\\ \mathrm{cm}.

Passo 2

A extremidade do ponteiro se move ao longo de um arco de circunferência. A fórmula que dá o comprimento do arco é
s = r\theta
onde s é o comprimento do arco (distância percorrida), r é o raio da circunferência (aqui o comprimento do ponteiro) e \theta é o ângulo central correspondente ao arco, medido em radianos. Explico: r é a distância do centro até a extremidade do ponteiro; \theta é o ângulo que o ponteiro percorre durante o tempo considerado, mas deve estar em radianos para usar essa fórmula diretamente.

Passo 3

Em 60 minutos o ponteiro dos minutos dá uma volta completa de 360^\circ. Em 20 minutos ele faz uma fração dessa volta igual a
\frac{20}{60}=\frac{1}{3}.
Portanto o ângulo percorrido em graus é
360^\circ\cdot\frac{1}{3}=120^\circ.

Passo 4

Precisamos converter esse ângulo para radianos. A conversão de graus para radianos é feita multiplicando por \pi/180. Assim
\theta = 120^\circ\cdot\frac{\pi}{180} = \frac{120}{180}\pi = \frac{2}{3}\pi.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula do arco s=r\theta com r=12\\ \mathrm{cm} e \theta=\frac{2}{3}\pi:
s = 12\cdot\frac{2}{3}\pi.
Simplificando a multiplicação:
12\cdot\frac{2}{3} = 12\cdot\frac{2}{3} = 8,
portanto
s = 8\pi.

Passo 6

Substituindo \pi=3,14 (conforme o enunciado):
s = 8\cdot 3,14 = 25,12\\ \mathrm{cm}.
Fiz a conta assim: 8\cdot 3 = 24 e 8\cdot 0,14 = 1,12, então 24+1,12=25,12.

Passo 7

Arredondando para uma casa decimal (para comparar com as alternativas), 25,12\\ \mathrm{cm}\approx 25,1\\ \mathrm{cm}. A alternativa que melhor aproxima é a letra (b).

Resposta

b) 25,1\\ \mathrm{cm}

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