1. A energia de ativação da reação N_{2} O_{(g)} \rightarrow N_{2(g)}+O_{(g)} é 2,4 \times 10^{2} \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol} a 600 K . Calcule a porcentagem do aumento da velocidade de 600 até 606 K . Comente os seus resultados.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (listei exatamente o que temos e o que foi solicitado):
  • Energia de ativação: E_a = 2{,}4\times10^{2}\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} (valor dado).
  • Temperatura inicial: T_1 = 600\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura final: T_2 = 606\\ \mathrm{K}.
  • O que pedir: calcular a porcentagem do aumento da velocidade (da constante de velocidade k) ao subir a temperatura de 600\\ \mathrm{K} para 606\\ \mathrm{K} e comentar o resultado.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • A dependência da constante de velocidade k com a temperatura é dada pela equação de Arrhenius:
k = A \exp\!\left(-\frac{E_a}{R\,T}\right),
onde:
  • k é a constante de velocidade da reação (proporcional à “velocidade” macroscópica),
  • A é o fator pré-exponencial (constante que depende da colisão/estereoquímica),
  • E_a é a energia de ativação (em \mathrm{J\,mol^{-1}}),
  • R é a constante dos gases ideais ( R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}),
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
  • Como A é a mesma nos dois estados (mesma reação), ao tomar a razão k_2/k_1 o A cancela, ficando:
\frac{k_2}{k_1}=\exp\!\left(-\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)\right) =\exp\!\left(\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right)\right).
  • A porcentagem de aumento da velocidade é:
\%\,\text{aumento}=\left(\frac{k_2}{k_1}-1\right)\times100\%.

Passo 3

Unidades e conversões necessárias (muito importante):
  • Converter E_a para \mathrm{J\,mol^{-1}}:
E_a = 2{,}4\times10^{2}\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} = 240{,}0\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} = 240{,}000\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
  • Constante dos gases: R = 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Temperaturas já estão em kelvin: T_1=600\\ \mathrm{K}, T_2=606\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular a diferença \dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2} de forma exata e simples:
\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}=\frac{1}{600}-\frac{1}{606}=\frac{606-600}{600\cdot606}=\frac{6}{600\cdot606}.
Simplificando:
\frac{6}{600\cdot606}=\frac{1}{60600}\approx 1{,}650165\times10^{-5}\\ \mathrm{K^{-1}}.

Passo 5

Calcular o fator \dfrac{E_a}{R} (vou mostrar passo a passo):
\frac{E_a}{R}=\frac{240{,}000\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}}{8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}}\approx 28\,866{,}971\\ \mathrm{K}.
(este número é adimensional quando multiplicado por 1/T, mas sua unidade intermédia aparece como \mathrm{K} para fins de verificação das unidades).
Agora o expoente:
\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right) =28\,866{,}971\times\frac{1}{60600} \approx 0{,}4763877.

Passo 6

Calcular a razão das constantes de velocidade e a porcentagem:
\frac{k_2}{k_1}=\exp(0{,}4763877)\approx 1{,}6099.
Logo a porcentagem de aumento é
\%\,\text{aumento}=(1{,}6099-1)\times100\%=60{,}99\%\approx61{,}0\%.

Passo 7

Verificação aproximada (intuição e linearização): quando a variação de temperatura é pequena pode-se aproximar
\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right)\approx \frac{E_a}{R\,T^2}\Delta T,
onde T é a temperatura de referência (aqui 600\\ \mathrm{K}) e \Delta T=T_2-T_1=6\\ \mathrm{K}. Calculando:
\frac{E_a}{R\,T^2}\Delta T\approx\frac{240{,}000}{8{,}314\cdot600^2}\cdot6\approx0{,}48,
que é próximo de 0{,}476 que encontramos exatamente para \ln(k_2/k_1). Essa aproximação dá a ordem de grandeza correta, mas cuidado: a porcentagem exata é e^{0{,}476}-1\approx0{,}6099 (≈60,99%), enquanto aproximar a porcentagem simplesmente por 0{,}476\times100\%=47{,}6\% seria subestimar bastante, porque se está confundindo o valor de \ln da razão com a própria razão.

Passo 8

Comentário físico e interpretação (estilo amigável):
  • O resultado pode parecer surpreendente: um aumento de apenas 6\\ \mathrm{K} (1% em relação a 600\\ \mathrm{K}) leva a um aumento de cerca de 61\% na velocidade. Isso acontece porque a dependência de Arrhenius é exponencial em -E_a/(R T): mesmo pequenas mudanças em 1/T podem produzir grandes mudanças na exponencial quando E_a é grande.
  • Aqui E_a é alto ( 240\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}), por isso a sensibilidade à temperatura é grande.
  • Regra prática usada às vezes ("a velocidade dobra a cada aumento de 10\\ ^\circ\mathrm{C}") não é universal; depende fortemente de E_a. Para esta reação, a sensibilidade é maior do que essa regra simples sugeriria.

Resposta

60{,}99\%

Exercícios relacionados