Os fios de uma residência normalmente são feitos de cobre e têm 2,0 \mathrm{~mm} de diâmetro. Qual é a diferença de potencial através de um desses fios com 20 m de comprimento? (Considere a resistividade do cobre \rho = 1.7 \times 10^{-8} \Omega \cdot \mathrm{m})

Passo 1

O enunciado pede a diferença de potencial (queda de tensão) através de um fio de cobre com comprimento 20\\ \mathrm{m} e diâmetro 2,0\\ \mathrm{mm}. As informações dadas são:
\rho = 1,7\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}
L = 20\\ \mathrm{m}
d = 2,0\\ \mathrm{mm} = 2,0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}
Não é dado um valor numérico para a corrente I que atravessa o fio, portanto devo encontrar a resistência do fio e expressar a diferença de potencial em função de I.

Passo 2

Conceito necessário (explicação): a resistividade \rho é uma propriedade do material que relaciona a resistência elétrica R de um condutor com seu comprimento L e sua área de secção transversal A pela fórmula
R=\rho\frac{L}{A},
onde
  • R é a resistência em \Omega,
  • \rho é a resistividade em \Omega\cdot\mathrm{m},
  • L é o comprimento do fio em \mathrm{m},
  • A é a área da seção transversal em \mathrm{m}^2.
A diferença de potencial (queda de tensão) entre as extremidades do fio quando passa uma corrente I é dada por
\Delta V = I\,R,
onde I é a corrente (em \mathrm{A}).

Passo 3

Calcular a área da seção transversal do fio. O fio é cilíndrico, com diâmetro d, portanto o raio é
r=\frac{d}{2}=\frac{2,0\times10^{-3}}{2}=1,0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
A área é
A=\pi r^{2}=\pi\left(1,0\times10^{-3}\right)^{2}=\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 4

Calcular a resistência do fio usando R=\rho L/A. Substituindo os valores:
\rho L = 1,7\times10^{-8}\times20 = 3,4\times10^{-7},
A=\pi\times10^{-6}.
Logo
R=\frac{3,4\times10^{-7}}{\pi\times10^{-6}}=\frac{3,4}{\pi}\times10^{-1}\\ \Omega.
Fazendo a divisão numérica \pi\approx3,14159,
R\approx0,108\\ \Omega.
Interpretação: o fio de 20\\ \mathrm{m} tem resistência aproximadamente 0,108\\ \Omega.

Passo 5

Agora relacionar resistência com a diferença de potencial: pela lei de Ohm,
\Delta V = I\,R.
Substituindo o valor de R encontrado,
\Delta V \approx 0,108\;I\\ \mathrm{V},
ou seja, para cada ampère que passa no fio a queda de tensão é aproximadamente 0,108\\ \mathrm{V} por ampère. Se quiser um exemplo prático, para I=10\\ \mathrm{A},
\Delta V \approx 0,108\times10=1,08\\ \mathrm{V}.

Resposta

R\approx0,108\\ \Omega
\Delta V = I\,R \approx 0,108\,I\\ \mathrm{V} (por exemplo, para I=10\\ \mathrm{A}: \Delta V\approx1,08\\ \mathrm{V})

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