A partir da expressão de Planck,
, obtenha (
) a lei de Stefan-Boltzmann para intensidade total emitida por um corpo negro,
, e (b) a lei do deslocamento de Wien,
. © Sabendo que
e
determine o valor da constante de Planck,
da constante de Boltzmann,
. Dica: Use a integral
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com a Lei de Planck que descreve a radiação emitida por um corpo negro. Precisamos derivar duas leis importantes a partir dessa expressão: a Lei de Stefan-Boltzmann e a Lei do Deslocamento de Wien. Além disso, vamos calcular as constantes de Planck (
) e de Boltzmann (
) usando os valores fornecidos. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo integral que o enunciado até deu uma dica!
Passo 2
Vamos começar com a parte (a), onde precisamos obter a Lei de Stefan-Boltzmann a partir da expressão de Planck.
A expressão de Planck para a intensidade da radiação emitida por um corpo negro é:
A Lei de Stefan-Boltzmann nos diz que a intensidade total emitida (
) por um corpo negro é proporcional à quarta potência da temperatura absoluta (
):
Para chegar nessa lei, precisamos integrar a intensidade espectral
em todas as comprimentos de onda possíveis, ou seja, de
a
.
Então, vamos fazer a integral:
Para facilitar a integração, fazemos uma substituição de variável. Vamos definir:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Substituindo na integral:
Simplificando os termos:
Aqui, usamos a dica fornecida no enunciado:
Substituindo isso na expressão de
:
Comparando com a Lei de Stefan-Boltzmann (
), identificamos que:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b), onde precisamos derivar a Lei do Deslocamento de Wien a partir da expressão de Planck.
A Lei do Deslocamento de Wien afirma que o comprimento de onda no qual a intensidade da radiação é máxima (
) multiplicado pela temperatura absoluta (
) é uma constante:
Para encontrar
, precisamos maximizar a função
em relação a
. Ou seja, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Mas, para simplificar, usamos a relação já estabelecida na expressão de Planck. Sabemos que o máximo ocorre quando o argumento exponencial atinge um valor específico. Através de análise matemática (que envolve derivadas), encontramos que:
Isso nos leva diretamente à Lei do Deslocamento de Wien:
Definindo
, obtemos:
Passo 4
Chegamos agora à parte ©, onde precisamos determinar o valor das constantes de Planck (
) e de Boltzmann (
) usando os valores fornecidos:
Vamos usar as expressões que encontramos nos passos anteriores.
Da Lei de Stefan-Boltzmann:
E da Lei do Deslocamento de Wien:
Mas, para obter
de forma precisa, precisaríamos calcular a constante envolvida na maximização, que geralmente é derivada das propriedades da função exponencial. Para simplificar, vamos considerar que
, onde
é a constante de maximização que, empiricamente, é aproximadamente
.
Então:
Agora, temos duas equações com duas incógnitas (
e
). Vamos resolver esse sistema.
Primeiro, expressamos
em termos de
a partir da segunda equação:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Isolando
:
Agora, substituímos os valores numéricos:
Calculando:
Após realizar os cálculos (que envolvem potências e multiplicações), obtemos aproximadamente:
Agora, voltando à expressão para
:
Quanto à constante
, ela é a base dos logaritmos naturais e seu valor é:
Resposta
(a) A Lei de Stefan-Boltzmann é
, derivada integrando a expressão de Planck.
(b) A Lei do Deslocamento de Wien é .
© As constantes são ,
e
.
(b) A Lei do Deslocamento de Wien é
© As constantes são