4 (Rolamento, torque e quantidade de movimento angular - 2,5 pontos) Um menino de massa m=40,0 \mathrm{lg} está parado ao lado de um carrocel de massa M=400 \mathrm{~kg} e raio R=3,5 \mathrm{~m}. O carrocel gira fivremente com velocidade angular \omega_{0}=0,600 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Atraido pelo brinquedo, o menino salta radialmente (em direção ao centro), passando a girar junto com o carrocel, na sua borda. Considere o carrocel como um disco uniforme ( I_{C M}=\frac{M \beta^{2}}{2} ). Calcule:
(a) 0,5 ) o módulo do momento angular do carrocel antes do salto do menino:
(b) 1,0 ) a velocidade angular do conjunto após o salto do menino:
(c) (1,0) a varração da energia cinética do sistema e interprete o resultado.

Passo 1

O enunciado nos dá um carrossel de massa M=400\\ \mathrm{kg} e raio R=3{,}5\\ \mathrm{m}, girando livremente com \omega_{0}=0{,}600\\ \mathrm{rad/s}. Um menino de massa m=40{,}0\\ \mathrm{kg} salta até a borda do carrossel (raio R). Vamos usar conservação do momento angular (sem torques externos) para achar a nova velocidade angular, e depois comparar as energias cinéticas inicial e final para calcular a variação.

Passo 2

Antes do salto, só o disco gira. O momento de inércia do carrossel em torno do eixo é
I_{\rm disco}=\frac{M\,R^{2}}{2}=\frac{400\cdot(3{,}5)^{2}}{2}=2450\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.
Logo, o momento angular inicial é
L_{i}=I_{\rm disco}\,\omega_{0}=2450\cdot0{,}600=1470\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}.

Passo 3

Depois que o menino salta e gruda na borda, o momento de inércia total fica
I_{\rm tot}=I_{\rm disco}+I_{\rm menino} =2450 + m\,R^{2} =2450 + 40\cdot(3{,}5)^{2} =2450 + 490 =2940\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.
Como não há torques externos, L_{f}=L_{i}, e
\omega_{f}=\frac{L_{i}}{I_{\rm tot}} =\frac{1470}{2940} =0{,}500\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

A energia cinética inicial é
K_{i}=\tfrac12\,I_{\rm disco}\,\omega_{0}^{2} =\tfrac12\cdot2450\cdot(0{,}600)^{2} =441\\ \mathrm{J}.
A energia cinética final é
K_{f}=\tfrac12\,I_{\rm tot}\,\omega_{f}^{2} =\tfrac12\cdot2940\cdot(0{,}500)^{2} =367{,}5\\ \mathrm{J}.
Portanto a variação é
\Delta K=K_{f}-K_{i} =367{,}5 - 441 =-73{,}5\\ \mathrm{J}.
Esse valor negativo indica que parte da energia cinética foi dissipada (no salto, atrito, deformações internas, etc.).

Resposta

(a) L_{i}=1470\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}.
(b) \omega_{f}=0{,}500\\ \mathrm{rad/s}.
(c) \Delta K=-73{,}5\\ \mathrm{J} (energia dissipada no processo).

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