1 (Energia cinética e trabalho - 3 pontos) Um bloco de massa m=5 \mathrm{Kg} está em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito quando uma força ao longo de um eixo x é aplicada ao bloco. A força é dada por \vec{F}(x)=10 x \vec{i} N, onde x está em metros e a posição inicial é \mathrm{x}=0.
a) Qual é a velocidade do bloco ao passar pelo ponto x=6 m ?
b) Qual o trabalho realizado pela força entre x=0 e x=8 m.

Passo 1

O enunciado dá um bloco de massa \,m=5\,\mathrm{kg} inicialmente em repouso sobre uma superfície sem atrito, sujeita a uma força que varia com a posição segundo \vec{F}(x)=10x\,\vec{i} (unidades SI). Para resolver, vamos usar o teorema trabalho–energia cinética, que diz que o trabalho realizado pela força entre duas posições é igual à variação da energia cinética do bloco.

Passo 2

Para a parte (a), queremos a velocidade ao passar em \,x=6\,\mathrm{m}. Primeiro calculamos o trabalho de x=0 até x=6:
W_{0\to6}=\int_{0}^{6}F(x)\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{6}10x\,\mathrm{d}x=\bigl[5x^{2}\bigr]_{0}^{6}=5\cdot36=180\text{ J}.
Pelo teorema trabalho–energia cinética,
\Delta K=\tfrac12 m v^{2}=W_{0\to6}=180\text{ J}.

Passo 3

Isolando v na expressão acima:
v=\sqrt{\frac{2\cdot180}{m}} =\sqrt{\frac{360}{5}} =\sqrt{72} =6\sqrt{2}\text{ m/s}.

Passo 4

Para a parte (b), calculamos o trabalho de x=0 até x=8:
W_{0\to8}=\int_{0}^{8}10x\,\mathrm{d}x =\bigl[5x^{2}\bigr]_{0}^{8} =5\cdot64 =320\text{ J}.

Resposta

(a) v=6\sqrt{2}\,\mathrm{m/s}
(b) W=320\text{ J}

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