1 (Energia cinética e trabalho - 3 pontos) Um bloco de massa m=7 \mathrm{Kg} está em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito quando uma força ao longo de um eixo x é aplicada ao bloco. A força é dada por \vec{F}(x)=15 x \vec{i} N, onde x está em metros e a posição inicial é \mathrm{x}=0.
a) Qual é a velocidade do bloco ao passar pelo ponto x=5 m ?
b) Qual o trabalho realizado pela força entre x=0 e x=7 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado descreve um bloco de massa m=7,kg em repouso sobre superfície sem atrito. Uma força variável atua ao longo de x segundo
\vec F(x)=15\,x\,\vec i\\ (\text{N}),
com x em metros, partindo de x=0. Pede-se:
a) velocidade ao passar por x=5,m;
b) trabalho da força de x=0 a x=7,m.
Usaremos o Teorema Trabalho–Energia cinética: o trabalho realizado pela força entre duas posições é igual à variação da energia cinética do bloco.

Passo 2

Calcular o trabalho genérico de x=0 até x=a:
W(0\to a)=\int_{0}^{a}15\,x\,dx =\frac{15\,a^2}{2} =7,5\,a^2\quad(\text{J}).

Passo 3

Para a=5,m, o trabalho é
W(0\to5)=7,5\times5^2=7,5\times25=187,5\\ \text{J}.
Como o bloco parte do repouso, toda essa energia vira energia cinética:
\Delta K=\tfrac12 m v^2=W(0\to5)=187,5.
Logo
v=\sqrt{\frac{2\cdot187,5}{m}} =\sqrt{\frac{375}{7}} \approx7,32\\ \text{m/s}.

Passo 4

Para o trabalho de x=0 até x=7,m, use a=7:
W(0\to7)=7,5\times7^2 =7,5\times49 =367,5\\ \text{J}.

Resposta

a) v\approx7,32\\ \text{m/s}
b) W=367,5\\ \text{J}

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