1- Uma onda eletromagnética se propaga pelo vácuo com comprimento de onda de 1,2 \mathrm{Km}. Tendo em vista que a amplitude do componente elétrico da onda é de 25 \mathrm{mN} / \mathrm{c}, encontre os componentes elétrico e magnético do campo para um instante 10 anos após a emissão da onda pela fonte . Ignore interações com meio material e adote c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. ( \mathrm{E}=\mathrm{cB} )

Passo 1

O enunciado trata de uma onda eletromagnética no vácuo com comprimento de onda \lambda=1,2\\ \mathrm{km} e amplitude do campo elétrico E_{0}=25\\ \mathrm{mN/C}. Queremos escrever os campos \vec{E} e \vec{B} num instante t=10 anos após a emissão, sabendo que em vácuo vale \vec{E}=c\,\vec{B} e que c=3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}. Para isso precisamos (1) achar o número de onda k e a frequência angular \omega, (2) montar as expressões temporais dos campos e (3) avaliar em t=10 anos.

Passo 2

Convertemos unidades e calculamos \displaystyle \lambda=1,2\\ \mathrm{km}=1,2\times10^{3}\\ \mathrm{m}, \displaystyle E_{0}=25\\ \mathrm{mN/C}=25\times10^{-3}\\ \mathrm{N/C}.
O número de onda e a frequência angular são
k=\frac{2\pi}{\lambda} =\frac{2\pi}{1{,}2\times10^{3}}\\ \mathrm{rad/m} \approx5{,}24\times10^{-3}\\ \mathrm{rad/m},
\omega=c\,k =3\times10^{8}\times5{,}24\times10^{-3}\\ \mathrm{rad/s} \approx1{,}57\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

A solução de uma onda plana que se propaga em +x e é polarizada em y é
\vec{E}(x,t)=E_{0}\,\cos\bigl(k\,x-\omega\,t\bigr)\,\hat{y}, \quad \vec{B}(x,t)=B_{0}\,\cos\bigl(k\,x-\omega\,t\bigr)\,\hat{z},
e em vácuo B_{0}=E_{0}/c. Num ponto fixo x=0 simplifica para
\vec{E}(t)=E_{0}\cos(\omega\,t)\,\hat{y}, \quad \vec{B}(t)=\frac{E_{0}}{c}\cos(\omega\,t)\,\hat{z}.

Passo 4

Convertendo t=10 anos em segundos:
t=10\times365\times24\times3600\\ \mathrm{s}\approx3{,}15\times10^{8}\\ \mathrm{s}.
Logo o argumento da cosseno é
\omega\,t\approx1{,}57\times10^{6}\times3{,}15\times10^{8} \approx4{,}95\times10^{14}\\ \mathrm{rad}.

Passo 5

Substituindo tudo, em t=10 anos e x=0,
\vec{E}(10\,\mathrm{anos}) =25\times10^{-3}\cos\bigl(4{,}95\times10^{14}\bigr)\,\hat{y} \quad(\mathrm{N/C}),
\vec{B}(10\,\mathrm{anos}) =\frac{25\times10^{-3}}{3\times10^{8}} \cos\bigl(4{,}95\times10^{14}\bigr)\,\hat{z} \approx8{,}33\times10^{-11}\cos\bigl(4{,}95\times10^{14}\bigr)\,\hat{z} \quad(\mathrm{T}).

Resposta

\displaystyle\vec{E}(10\\ \mathrm{anos}) =25\times10^{-3}\cos\bigl(4{,}95\times10^{14}\bigr)\,\hat{y}\\ \mathrm{N/C}, \displaystyle\vec{B}(10\\ \mathrm{anos}) \approx8{,}33\times10^{-11}\cos\bigl(4{,}95\times10^{14}\bigr)\,\hat{z}\\ \mathrm{T}.

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