Exercício: Partícula livre (parte 1).
a) Obtenha a função de onda para uma partícula livre.
b) Densidade de probabilidade: a partícula está localizada? A função de onda é normalizável?
c) Suponha agora, como uma aproximação, que a partícula livre está confinada a uma região extensa do espaço:
. Fora dessa região, a probabilidade de encontrar a partícula é nula. Determine a constante de normalização.
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a) Obtenha a função de onda para uma partícula livre.
b) Densidade de probabilidade: a partícula está localizada? A função de onda é normalizável?
c) Suponha agora, como uma aproximação, que a partícula livre está confinada a uma região extensa do espaço:
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre partícula livre. A gente precisa resolver três partes:
a) Encontrar a função de onda para uma partícula livre.
b) Analisar a densidade de probabilidade: será que a partícula está localizada? E a função de onda é normalizável?
c) Agora, vamos supor que a partícula livre está presa numa região grande do espaço, de
a
. Fora dessa região, a probabilidade de encontrar a partícula é zero. Precisamos descobrir a constante de normalização.
Para resolver isso, vamos precisar entender a equação de Schrödinger para partículas livres e como normalizar funções de onda.
Passo 2
Vamos começar pela parte a): encontrar a função de onda para uma partícula livre.
Uma partícula livre está sujeita apenas à energia cinética, sem potenciais agindo sobre ela. A equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula livre é:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula,
é a energia, e
é a função de onda que queremos encontrar.
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem, cuja solução geral são funções harmônicas, ou seja, senos e cossenos, ou combinações complexas de exponenciais. Portanto, a função de onda geral para uma partícula livre pode ser escrita como:
Onde
é o número de onda relacionado à energia pela relação
, e
e
são constantes que determinam a amplitude das ondas que se movem para a direita e para a esquerda, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos para a parte b): densidade de probabilidade e normalizabilidade da função de onda.
A densidade de probabilidade é dada por
, que nos diz a probabilidade de encontrar a partícula em uma posição
.
Para a função de onda que encontramos:
Essa expressão não depende de
se
e
forem escolhidos de certa forma, mas o importante aqui é que, para uma partícula livre, essa densidade de probabilidade é constante no espaço. Isso significa que a partícula não está localizada em nenhum lugar específico; ela está “espalhada” pelo espaço todo.
Além disso, uma função de onda que é constante em todo o espaço não é normalizável no sentido usual, porque a integral de
sobre todo o espaço seria infinita. Ou seja, não podemos “normalizar” essa função de onda para que a probabilidade total seja 1.
Passo 4
Finalmente, vamos para a parte c): supondo que a partícula está confinada numa região
e fora dessa região a probabilidade é zero. Precisamos determinar a constante de normalização.
Agora, a função de onda deve ser zero fora de
a
, então só precisamos normalizar dentro dessa região. Vamos considerar a função de onda simplificada para uma onda estacionária, por exemplo:
Para normalizar, precisamos que:
Substituindo
:
Resolvendo para
:
Então, a constante de normalização
é:
Resposta
a) A função de onda para uma partícula livre é
, onde
e
são constantes e
está relacionado à energia da partícula.
b) A densidade de probabilidade
é constante no espaço, o que significa que a partícula não está localizada em nenhuma posição específica. Além disso, essa função de onda não é normalizável porque a probabilidade total seria infinita.
c) Quando a partícula está confinada na região
e nula fora dela, a constante de normalização é
.