Exercício: Partícula livre (parte 1).
a) Obtenha a função de onda para uma partícula livre.
b) Densidade de probabilidade: a partícula está localizada? A função de onda é normalizável?
c) Suponha agora, como uma aproximação, que a partícula livre está confinada a uma região extensa do espaço: -L<x<L. Fora dessa região, a probabilidade de encontrar a partícula é nula. Determine a constante de normalização.
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Aula 11
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Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre partícula livre. A gente precisa resolver três partes:
a) Encontrar a função de onda para uma partícula livre.
b) Analisar a densidade de probabilidade: será que a partícula está localizada? E a função de onda é normalizável?
c) Agora, vamos supor que a partícula livre está presa numa região grande do espaço, de -L a L. Fora dessa região, a probabilidade de encontrar a partícula é zero. Precisamos descobrir a constante de normalização.
Para resolver isso, vamos precisar entender a equação de Schrödinger para partículas livres e como normalizar funções de onda.

Passo 2

Vamos começar pela parte a): encontrar a função de onda para uma partícula livre.
Uma partícula livre está sujeita apenas à energia cinética, sem potenciais agindo sobre ela. A equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula livre é:
-hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 = E psi(x)
Aqui, hbar é a constante de Planck reduzida, m é a massa da partícula, E é a energia, e psi(x) é a função de onda que queremos encontrar.
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem, cuja solução geral são funções harmônicas, ou seja, senos e cossenos, ou combinações complexas de exponenciais. Portanto, a função de onda geral para uma partícula livre pode ser escrita como:
psi(x) = A e^ikx + B e^-ikx
Onde k é o número de onda relacionado à energia pela relação E = hbar^2 k^22m, e A e B são constantes que determinam a amplitude das ondas que se movem para a direita e para a esquerda, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): densidade de probabilidade e normalizabilidade da função de onda.
A densidade de probabilidade é dada por |psi(x)|^2, que nos diz a probabilidade de encontrar a partícula em uma posição x.
Para a função de onda que encontramos:
|psi(x)|^2 = |A e^ikx + B e^-ikx|^2 = |A|^2 + |B|^2 + A^* B e^i2kx + A B^* e^-i2kx
Essa expressão não depende de x se A e B forem escolhidos de certa forma, mas o importante aqui é que, para uma partícula livre, essa densidade de probabilidade é constante no espaço. Isso significa que a partícula não está localizada em nenhum lugar específico; ela está “espalhada” pelo espaço todo.
Além disso, uma função de onda que é constante em todo o espaço não é normalizável no sentido usual, porque a integral de |psi(x)|^2 sobre todo o espaço seria infinita. Ou seja, não podemos “normalizar” essa função de onda para que a probabilidade total seja 1.

Passo 4

Finalmente, vamos para a parte c): supondo que a partícula está confinada numa região -L < x < L e fora dessa região a probabilidade é zero. Precisamos determinar a constante de normalização.
Agora, a função de onda deve ser zero fora de -L a L, então só precisamos normalizar dentro dessa região. Vamos considerar a função de onda simplificada para uma onda estacionária, por exemplo:
psi(x) = A e^ikx para -L < x < L
psi(x) = 0 fora desse intervalo
Para normalizar, precisamos que:
integral-L^L |psi(x)|^2 dx = 1
Substituindo |psi(x)|^2:
|A|^2 integral-L^L e^ikx e^-ikx dx = |A|^2 integral-L^L 1 , dx = |A|^2 cdot 2L = 1
Resolvendo para |A|^2:
|A|^2 = 12L
Então, a constante de normalização A é:
A = 1raiz2L

Resposta

a) A função de onda para uma partícula livre é psi(x) = A e^ikx + B e^-ikx, onde A e B são constantes e k está relacionado à energia da partícula.
b) A densidade de probabilidade |psi(x)|^2 é constante no espaço, o que significa que a partícula não está localizada em nenhuma posição específica. Além disso, essa função de onda não é normalizável porque a probabilidade total seria infinita.
c) Quando a partícula está confinada na região -L < x < L e nula fora dela, a constante de normalização é A = 1raiz2L.

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