A energia de Fermi do alumínio é 11,6 eV. A partir de dados de uma tabela de propriedade dos elementos, determine o número de elétrons de condução por átomo. Compare o valor obtido com o número de valência do alumínio.
R: n=2,97 valência =3 (cada átomo de alumínio fornece aproximadamente 3 elétrons de condução, isto é, os 3 elétrons de valência são livres)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “A energia de Fermi do alumínio é EF ;=;hbar^22m,(3pi^2,ne)^2/3, . Usando dados da tabela de propriedades (densidade, massa molar etc.), determine quantos elétrons de condução há por átomo e compare com a valência do Al.”
Conteúdo: teoria do gás de elétrons livres / energia de Fermi. Vamos precisar da relação
onde é a concentração de elétrons livres (elétrons por volume). Também vamos usar densidade ( ), massa molar ( ) e número de Avogadro ( ) para achar átomos por volume e, daí, elétrons por átomo.

Passo 2

Primeiro converto a energia de Fermi para joules:
EF = 11,6rm,eV ;times;1,602times10^-19,JeV ;=;1,86times10^-18,J

Passo 3

Agora isolo EF = hbar^22m(3pi^2,ne)^2/3 Longrightarrow ne = 13pi^2l(2m,EFhbar^2r)^3/2 na fórmula do gás de elétrons livres:
Aqui usamos e .

Passo 4

Substituindo:
2m,EFhbar^2 = 2,(9,11times10^-31),(1,86times10^-18) (1,055times10^-34)^2 approx 3,05times10^20,
ne = 13pi^2,(3,05times10^20)^3/2 approx 129,6,(5,32times10^30) approx1,8times10^29,elétrons/m^3 é

Passo 5

Para saber átomos por metro cúbico, uso
nrm átomo = rho,NAM, á
com nrm átomo = 2,70times10^3 times 6,02times10^230,02698 approx6,0times10^28,átomos/m^3 , , :
áá

Passo 6

Finalmente, elétrons livres por átomo é
nenrm átomo =1,8times10^296,0times10^28 approx2,97 á

Resposta

Cada átomo de alumínio fornece cerca de elétrons de condução, o que bate direitinho com a valência .

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