A energia interna de um gás ideal * depende exclusivamente de:
◯ a) Sua pressão e volume.
◯ b) Sua temperatura e massa molar.

c) Sua temperatura e quantidade de matéria (número de mols).
◯ d) Seu volume e número de moléculas.

e) Sua pressão e concentração molecular.

Passo 1

O enunciado pede que se escolha a alternativa correta sobre de que a energia interna de um gás ideal depende exclusivamente. As alternativas são:
a) Sua pressão e volume.
b) Sua temperatura e massa molar.
c) Sua temperatura e quantidade de matéria (número de mols).
d) Seu volume e número de moléculas.
e) Sua pressão e concentração molecular.

Passo 2

O que é energia interna e qual a hipótese para gás ideal?
  • Energia interna ( U) é a soma das energias microscópicas das partículas do gás (principalmente energia cinética das moléculas, no caso de gás ideal).
  • Para um gás ideal assume-se que não há interação potencial entre moléculas: a energia interna é apenas energia cinética média das moléculas e, por isso, depende da temperatura (medida da energia cinética média).
Fórmulas essenciais (equipartição / modelo do gás ideal):
U = N\cdot \frac{f}{2} k_B T
ou, em termos de mols,
U = n\cdot \frac{f}{2} R T.
Expliquei cada símbolo:
  • U: energia interna total do gás (unidade: J).
  • N: número total de moléculas (partículas).
  • n: número de mols.
  • f: número de graus de liberdade por molécula (por exemplo, f=3 para monatomicidade translacional pura; para diatômicos em temperaturas moderadas f=5, etc.).
  • k_B: constante de Boltzmann ( k_B \approx 1,380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}).
  • R: constante dos gases perfeitos ( R = N_A k_B \approx 8,314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}).
  • T: temperatura absoluta em kelvin (K).
Observação didática: a equipartição diz que cada grau de liberdade quadrático contribui com \tfrac{1}{2}k_B T por molécula para a energia média; multiplicando por N dá a energia total.

Passo 3

Mostrando de forma termodinâmica que U não depende de V ou P para gás ideal. Há uma identidade útil:
\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V - P.
Para um gás ideal vale a equação de estado
P = \frac{n R T}{V}.
Calcule o termo da direita:
\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V = \frac{n R}{V}.
Logo
T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V - P = T\cdot\frac{n R}{V} - \frac{n R T}{V} = 0.
Portanto
\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = 0.
Isto significa que, à temperatura fixa, mudar o volume não altera U. Como P e V estão ligados entre si pela equação de estado, e U é independente de V à mesma T, conclui-se que para um gás ideal a energia interna depende apenas de T e da quantidade de substância (ou do número de partículas) — exatamente como as fórmulas do passo anterior mostram.

Passo 4

Interpretação de cada alternativa com base nas fórmulas obtidas:
a) Pressão e volume — incorreto. A pressão e o volume definem o estado junto com a temperatura via PV=nRT, mas U para gás ideal depende apenas de T (para uma dada quantidade de matéria). Como mostrado, \left(\partial U/\partial V\right)_T=0, então V não entra.
b) Temperatura e massa molar — incorreto. A massa molar ( M) é uma propriedade da substância, mas a energia interna total depende do número de mols n (quantidade de matéria). Dois recipientes com a mesma temperatura e mesma massa molar podem ter energias internas diferentes se tiverem números diferentes de mols. Assim, massa molar sozinha não substitui o número de mols.
c) Temperatura e quantidade de matéria (número de mols) — correto. A fórmula U = n\cdot\frac{f}{2} R T mostra que U é proporcional a T e a n (e ao fator \tfrac{f}{2}R que depende do tipo de molécula). Portanto, as variáveis essenciais são T e n.
d) Volume e número de moléculas — incorreto. O número de moléculas ( N) aparece na forma alternativa U = N\cdot\frac{f}{2}k_B T, mas o volume não aparece (independente, para gás ideal, quando T fixo).
e) Pressão e concentração molecular — incorreto. Pressão e concentração não entram diretamente na expressão de U para gás ideal; a concentração multiplicada por temperatura dá pressão, mas U não depende de P ou concentração isoladamente — depende de T e do número de partículas.

Passo 5

Exemplo numérico para fixar (é uma boa pegadinha de prova): um mol de gás monoatômico a T = 300\\ \mathrm{K}. Para monoatômico f=3. Então
U = n\cdot\frac{f}{2} R T = 1\cdot\frac{3}{2}\cdot 8,314\cdot 300.
Calcule passo a passo:
8,314\cdot 300 = 2494,2,
\frac{3}{2}\cdot 2494,2 = 1,5\cdot 2494,2 = 3741,3\\ \mathrm{J}.
Se agora o gás for expandido isotermicamente (mesma T, V aumenta e P diminui), U permanece 3741,3\\ \mathrm{J} — reforçando que U não depende de V nem de P, apenas de T e de n.

Passo 6

Resumo final e motivação para a prova: memorize a forma geral
U \propto nT
(especificamente U = n\frac{f}{2}RT). Na hora da prova, se te perguntarem “de que depende a energia interna do gás ideal?” responda que depende exclusivamente da temperatura e da quantidade de matéria (número de mols). Isso resolve a questão rapidamente e evita cair na armadilha de marcar pressão/volume.

Resposta

c)

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