A teoria cinética permite deduzir * 5 pontos a equação de estado dos gases ideais. A pressão de um gás pode ser expressa como:
◯ a)
◯ b)
◯ c)
◯ d) Todas as alternativas estão corretas.
◯ e) Apenas a e c estão corretas.
◯ a)
◯ b)
◯ c)
◯ d) Todas as alternativas estão corretas.
◯ e) Apenas a e c estão corretas.
Passo 1
O enunciado dá três fórmulas possíveis para a pressão de um gás e pergunta quais são corretas. As alternativas apresentadas (copiadas tal quali, mas padronizando a notação matemática) são:
- (a)
- (b)
- (c)
O que é pedido: determinar quais dessas expressões representam corretamente a pressão de um gás segundo a teoria cinética.
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas nas alternativas):
-
aparece como densidade numérica (número de partículas por volume) na alternativa (a). -
é a massa de uma partícula. -
ou indicam velocidade eficaz (root-mean-square). -
parece representar número total de partículas (possível ambiguidade). -
parece representar energia cinética média por partícula. -
é a densidade de massa do gás.
Passo 2
Explicando as definições e unidades (super importante para não se confundir):
- Densidade numérica:
(unidade: partículas por volume). - Densidade de massa:
(unidade: massa por volume). - Energia cinética média por partícula:
. - Velocidade quadrática média (rms):
, então .
Cheque rápido de dimensões:
- Pressão tem dimensão de energia por volume (ou força por área). Toda expressão candidata deve ter dimensão de massa × (velocidade)^2 por volume.
Passo 3
Derivação clássica (passo a passo) da expressão fundamental
.
Premissas simples da teoria cinética que vamos usar:
- Gás ideal: moléculas puntiformes, colisões perfeitamente elásticas com as paredes.
- Distribuição isotrópica de velocidades (nenhuma direção preferencial):
. - Notação:
é número total de partículas no volume ; .
Derivação:
- Considere a componente
da velocidade. Uma molécula com componente que colide elasticamente com a parede tem variação de momento na direção igual a (o sinal inverte). - No intervalo de tempo
, as moléculas que atingirão a parede são as que, à distância menor que , se movem para a parede. O número dessas moléculas por unidade de área com componente (somente ) é vezes a fração da distribuição correspondente; integrando sobre a distribuição dá uma contribuição proporcional a . - Somando (integrando) sobre todas as velocidades positivas e passando para a média, a taxa de transporte de momento por unidade de área (força por área = pressão) vinda das colisões é
- Pela isotropia das componentes,
logo
.
5. Substituindo,
5. Substituindo,
Isto é exatamente a forma padrão
(pois
).
Passo 4
Conseqüências imediatas e verificação das alternativas:
-
Comparando com (a):
. Isto bate exatamente com a derivação. Portanto (a) está correta. -
Relação com (c): usar
. Substituindo em obtém-se
Se
na alternativa (c) significa
(velocidade quadrática média), então (c) está correta também. Portanto (c) é equivalente a (a) e é correta.
Passo 5
Analisando (b) e a forma correta envolvendo energia cinética total:
A energia cinética total do gás é
A partir de
e
vem
Portanto a relação correta envolvendo
e
é
Observação crítica sobre (b): a alternativa (b) dizia
sem dividir por
. Isso está dimensionalmente errato: o lado direito tem dimensão de energia (pois
é energia), enquanto
tem dimensão de energia por volume. Logo, como está escrita, (b) é incorreta. (Se na alternativa
tivesse sido usada para representar densidade numérica
em vez do número total, então a forma
seria equivalente e correta — mas dada a notação usual,
é o número total, então falta o divisor
.)
Passo 6
Resumo lógico das verificações:
- (a) correta (é a forma padrão da teoria cinética).
- (c) correta (é a mesma que (a) usando
). - (b) incorreta na forma escrita (falta o fator
); a forma correta seria .
Um reforço para memorização rápida na prova:
- lembrar que
é uma relação muito usada; dela se deriva facilmente qualquer das formas acima.
Passo 7
Encorajamento final: faz sentido ficar meio tonto com essas notações (
vs
,
vs
). Na prova, sempre cheque unidades: se o lado direito não tem unidades de pressão, a alternativa está errada — é um truque comum. Além disso, lembrar a forma canônica
resolve a maioria das checagens.
Resposta
e) Apenas a e c estão corretas.