A teoria cinética permite deduzir * 5 pontos a equação de estado dos gases ideais. A pressão de um gás pode ser expressa como:
◯ a) p=(1 / 3) n m v \_r m s^{2}
◯ b) p=(2 / 3) N \varepsilon
◯ c) p=(1 / 3) \rho v \_r^{2}
◯ d) Todas as alternativas estão corretas.
◯ e) Apenas a e c estão corretas.

Passo 1

O enunciado dá três fórmulas possíveis para a pressão de um gás e pergunta quais são corretas. As alternativas apresentadas (copiadas tal quali, mas padronizando a notação matemática) são:
  • (a) p=\tfrac{1}{3}\,n\,m\,v_{\text{rms}}^{2}
  • (b) p=\tfrac{2}{3}\,N\,\varepsilon
  • (c) p=\tfrac{1}{3}\,\rho\,v_{r}^{2}
O que é pedido: determinar quais dessas expressões representam corretamente a pressão de um gás segundo a teoria cinética.
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas nas alternativas):
  • n aparece como densidade numérica (número de partículas por volume) na alternativa (a).
  • m é a massa de uma partícula.
  • v_{\text{rms}} ou v_{r} indicam velocidade eficaz (root-mean-square).
  • N parece representar número total de partículas (possível ambiguidade).
  • \varepsilon parece representar energia cinética média por partícula.
  • \rho é a densidade de massa do gás.

Passo 2

Explicando as definições e unidades (super importante para não se confundir):
  • Densidade numérica: n=\dfrac{N}{V} (unidade: partículas por volume).
  • Densidade de massa: \rho = n\,m (unidade: massa por volume).
  • Energia cinética média por partícula: \varepsilon = \dfrac{1}{2}m\langle v^{2}\rangle.
  • Velocidade quadrática média (rms): v_{\text{rms}}=\sqrt{\langle v^{2}\rangle}, então v_{\text{rms}}^{2}=\langle v^{2}\rangle.
Cheque rápido de dimensões:
  • Pressão tem dimensão de energia por volume (ou força por área). Toda expressão candidata deve ter dimensão de massa × (velocidade)^2 por volume.

Passo 3

Derivação clássica (passo a passo) da expressão fundamental p=\tfrac{1}{3} n m \langle v^{2}\rangle.
Premissas simples da teoria cinética que vamos usar:
  • Gás ideal: moléculas puntiformes, colisões perfeitamente elásticas com as paredes.
  • Distribuição isotrópica de velocidades (nenhuma direção preferencial): \langle v_x^2\rangle=\langle v_y^2\rangle=\langle v_z^2\rangle.
  • Notação: N é número total de partículas no volume V; n=N/V.
Derivação:
  1. Considere a componente x da velocidade. Uma molécula com componente v_x que colide elasticamente com a parede tem variação de momento na direção x igual a \Delta p_x = 2 m v_x (o sinal inverte).
  2. No intervalo de tempo \Delta t, as moléculas que atingirão a parede são as que, à distância menor que v_x\Delta t, se movem para a parede. O número dessas moléculas por unidade de área com componente v_x (somente v_x>0) é \dfrac{N}{V} v_x \Delta t vezes a fração da distribuição correspondente; integrando sobre a distribuição dá uma contribuição proporcional a n v_x \Delta t.
  3. Somando (integrando) sobre todas as velocidades positivas e passando para a média, a taxa de transporte de momento por unidade de área (força por área = pressão) vinda das colisões é
p = \frac{N m}{V}\langle v_x^2\rangle.
  1. Pela isotropia das componentes,
\langle v^2\rangle = \langle v_x^2\rangle + \langle v_y^2\rangle + \langle v_z^2\rangle = 3\langle v_x^2\rangle,
logo \langle v_x^2\rangle=\tfrac{1}{3}\langle v^2\rangle.
5. Substituindo,
p = \frac{N m}{V}\cdot\frac{1}{3}\langle v^2\rangle = \frac{1}{3}\,n\,m\,\langle v^2\rangle.
Isto é exatamente a forma padrão p=\tfrac{1}{3} n m v_{\text{rms}}^{2} (pois v_{\text{rms}}^{2}=\langle v^{2}\rangle).

Passo 4

Conseqüências imediatas e verificação das alternativas:
  • Comparando com (a): p=\tfrac{1}{3} n m v_{\text{rms}}^{2}. Isto bate exatamente com a derivação. Portanto (a) está correta.
  • Relação com (c): usar \rho = n m. Substituindo em p=\tfrac{1}{3} n m \langle v^{2}\rangle obtém-se
p=\tfrac{1}{3}\,\rho\,\langle v^{2}\rangle.
Se v_{r} na alternativa (c) significa v_{\text{rms}} (velocidade quadrática média), então (c) está correta também. Portanto (c) é equivalente a (a) e é correta.

Passo 5

Analisando (b) e a forma correta envolvendo energia cinética total:
A energia cinética total do gás é
E_{\text{cin}} = N\,\varepsilon = N\cdot\frac{1}{2}m\langle v^{2}\rangle.
A partir de p=\tfrac{1}{3}n m\langle v^{2}\rangle e n=N/V vem
p = \frac{1}{3}\,\frac{N}{V}\,m\langle v^{2}\rangle = \frac{2}{3}\,\frac{N\cdot \tfrac{1}{2}m\langle v^{2}\rangle}{V} = \frac{2}{3}\,\frac{E_{\text{cin}}}{V}.
Portanto a relação correta envolvendo N e \varepsilon é
p = \frac{2}{3}\,\frac{N\varepsilon}{V}.
Observação crítica sobre (b): a alternativa (b) dizia p=\tfrac{2}{3} N \varepsilon sem dividir por V. Isso está dimensionalmente errato: o lado direito tem dimensão de energia (pois N\varepsilon é energia), enquanto p tem dimensão de energia por volume. Logo, como está escrita, (b) é incorreta. (Se na alternativa N tivesse sido usada para representar densidade numérica n em vez do número total, então a forma p=\tfrac{2}{3}n\varepsilon seria equivalente e correta — mas dada a notação usual, N é o número total, então falta o divisor V.)

Passo 6

Resumo lógico das verificações:
  • (a) correta (é a forma padrão da teoria cinética).
  • (c) correta (é a mesma que (a) usando \rho=nm).
  • (b) incorreta na forma escrita (falta o fator 1/V); a forma correta seria p=\tfrac{2}{3}\dfrac{N\varepsilon}{V}.
Um reforço para memorização rápida na prova:
  • lembrar que pV = \tfrac{2}{3}E_{\text{cin}} é uma relação muito usada; dela se deriva facilmente qualquer das formas acima.

Passo 7

Encorajamento final: faz sentido ficar meio tonto com essas notações ( N vs n, \rho vs n m). Na prova, sempre cheque unidades: se o lado direito não tem unidades de pressão, a alternativa está errada — é um truque comum. Além disso, lembrar a forma canônica p=\tfrac{1}{3} n m v_{\text{rms}}^{2} resolve a maioria das checagens.

Resposta

e) Apenas a e c estão corretas.

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