A energia potencial de um corpo restrito ao eixo x é dada pela função U(x)=5 x^{3}+3 x^{2}+1, onde U é expressa em Joules e x em metros.
(a) Qual é o trabalho realizado pela força F_{x} associada a esta função energia potencial, de x=0 a x=1 m ?
(b) Supondo que não haja outras forças atuando sobre o corpo, em que posições esse corpo está em equilíbrio?
(c) Qual(is) o(s) ponto(s) de equilíbrio estável?

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial de um corpo restrito ao eixo x como
U(x)=5x^{3}+3x^{2}+1,
com U em joules e x em metros. Precisamos:
  1. calcular o trabalho realizado pela força F_{x} associada a esta energia potencial, de x=0 a x=1,
  2. encontrar as posições de equilíbrio (onde F_{x}=0),
  3. determinar quais desses pontos são de equilíbrio estável usando um teste de segunda derivada.

Passo 2

Para uma força conservativa relacionada a uma energia potencial U(x) vale
F_{x} = -\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x}.
Calculando a derivada
\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(5x^{3}+3x^{2}+1\bigr) =15x^{2}+6x,
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F_{x} = -\bigl(15x^{2}+6x\bigr) = -3x\,(5x+2).

Passo 3

O trabalho realizado por F_{x} de x=0 a x=1 pode ser obtido por
W = \int_{0}^{1} F_{x}\,\mathrm{d}x
ou pelo teorema da energia potencial conservativa W = U(0)-U(1). Calculando U(0) e U(1):
U(0)=5\cdot0^{3}+3\cdot0^{2}+1=1, \quad U(1)=5\cdot1^{3}+3\cdot1^{2}+1=5+3+1=9.
Assim
W = U(0)-U(1)=1-9=-8\text{ J}.

Passo 4

Equilíbrio ocorre quando F_{x}=0, isto é
-3x\,(5x+2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad 5x+2=0\;\Rightarrow\;x=-\tfrac{2}{5}.

Passo 5

Para verificar estabilidade usamos a segunda derivada de U:
\frac{\mathrm{d}^{2}U}{\mathrm{d}x^{2}} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(15x^{2}+6x\bigr) =30x+6.
Em x=0 temos 30\cdot0+6=6>0, indicando mínimo de U (equilíbrio estável).
Em x=-\tfrac{2}{5} temos
30\bigl(-\tfrac{2}{5}\bigr)+6=-12+6=-6<0,
indicando máximo de U (equilíbrio instável).

Resposta

(a) -8\text{ J}
(b) x=0 e x=-\tfrac{2}{5}\text{ m}
(c) Ponto de equilíbrio estável em x=0.

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