Uma partícula de 3,0 \mathrm{~kg} entra em movimento a partir do repouso da posição x_{0}=0,05 \mathrm{~m} sobre a ação de uma única força F_{x}=6,0+4,0 x-3,0 x^{2}, em que F_{x} está em newtons e x em metros. (a) Encontre o trabalho realizado por F_{x} quando a partícula move-se de x=0,05 a x=3,00 \mathrm{~m}. (b) Encontre a potência transmitida a partícula ao passar pelo ponto x=3,00 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá uma partícula de massa m=3{,}0 kg, inicialmente em repouso em x_0=0{,}05 m, sujeita à força unidimensional
F_x(x)=6{,}0+4{,}0\,x-3{,}0\,x^2,
onde F_x está em newtons e x em metros.
(a) Vamos usar a definição de trabalho para forças variáveis.
(b) Em seguida, obteremos a velocidade em x=3{,}00 m pelo teorema trabalho–energia e, finalmente, calcularemos a potência P=F_x\,v.

Passo 2

O trabalho realizado pela força ao mover-se de x_0 a x_1 é
W=\int_{x_0}^{x_1}F_x(x)\,dx.
Substituindo F_x(x)=6+4x-3x^2, temos a antiderivada
\int(6+4x-3x^2)\,dx = 6x + 2x^2 - x^3 + C.

Passo 3

Avaliaremos entre x_0=0{,}05 m e x_1=3{,}00 m:
No limite superior x=3:
6\cdot3 + 2\cdot3^2 - 3^3 = 18 + 18 - 27 = 9.
No limite inferior x=0{,}05:
6\cdot0{,}05 + 2\,(0{,}05)^2 - (0{,}05)^3 =0{,}3 + 0{,}005 - 0{,}000125 =0{,}304875.
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W = 9 - 0{,}304875 = 8{,}695125\text{ J}\approx8{,}70\text{ J}.

Passo 4

Pelo teorema trabalho–energia,
W = \Delta K = \tfrac12\,m\,v^2 - 0,
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v = \sqrt{\frac{2W}{m}} = \sqrt{\frac{2\cdot8{,}695125}{3{,}0}} \approx2{,}41\text{ m/s}.

Passo 5

A potência instantânea é
P = F_x(x)\,\cdot v.
Em x=3{,}00 m,
F_x = 6 + 4\cdot3 - 3\cdot3^2 = 6 + 12 - 27 = -9\text{ N},
então
P = (-9)\cdot2{,}41 \approx -21{,}7\text{ W}.

Resposta

(a) 8{,}70\text{ J}
(b) -21{,}7\text{ W}

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