A energia potencial de dois átomos em uma molécula pode, algumas vezes, ser aproximada pela função de Morse,
U(r)=A[(e^(R-r) / S-1)^2-1],
onde r é a distância entre os dois átomos e A, R e S são constantes positivas, com S ll R. Esboce o gráfico dessa função para 0. Determine a separação de equilíbrio ro na qual U(r) é mínimo. Agora escreva r=ro+x de modo que x seja o deslocamento a partir da posição de equilíbrio e mostre que, para pequenos deslocamentos, U tem a forma aproximada U= const +12 k x^2. Ou seja, a lei de Hooke se aplica. Qual é a constante k da força?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a energia potencial de uma molécula pode ser descrita pela função de Morse
U(r)=Al[l(e^(R-r)/S-1r)^2-1r],
onde r é a distância entre os átomos e A,R,S>0 com Sll R.
O que a questão pede:
  1. Esboçar o gráfico de U(r) para 0.
  2. Determinar a distância de equilíbrio r0 (mínimo de U).
  3. Mostrar que, ao escrever r=r0+x e para x pequeno, aparece a forma de mola (lei de Hooke)
Uapproxconst+tfrac12,k,x^2
e encontrar k.
Pra resolver isso a gente vai precisar de derivadas (pra achar mínimo) e de série de Taylor (pra aproximar exponencial para deslocamentos pequenos).

Passo 2

Primeiro, esboço e r0:
  • Quando rto0, (R-r)/Sto R/Sgg1, então e^(R-r)/Stoinfty e Uto+infty.
  • Quando rtoinfty, (R-r)/Sto-infty, e^(R-r)/Sto0, daí U(infty)=A[(0-1)^2-1]=0
    Ou seja, o gráfico vai lá em cima quando rto0, desce até um mínimo, e depois sobe pra zero quando rtoinfty.
Agora achar r0 fazendo dUdr=0:
  1. Calcule U'(r):
U(r)=Al(e^2R-rS-2e^R-rSr),
então
U'(r) =Al(2e^2R-rScdotl(-tfrac1Sr) -2e^R-rScdotl(-tfrac1Sr)r) =-2ASl(e^2R-rS-e^R-rSr)
  1. Zera isso:
e^2R-rS-e^R-rS=0 ;Longrightarrow; e^R-rSl(e^R-rS-1r)=0 ;Longrightarrow; e^R-rS=1 ;Longrightarrow; R-rS=0 ;Longrightarrow; r=R
Logo, a separação de equilíbrio é
r0=R

Passo 3

Agora, escrevemos r=R+x, com x deslocamento pequeno. Então
R-rS=R-(R+x)S=-xS
Logo
e^R-rS=e^-x/S approx1-xS+x^22S^2+cdots
(porque a série de Taylor de e^u em u=0 é 1+u+u^2/2+dots).
Então dentro de U:
e^(R-r)/S-1approxl(1-xS+x^22S^2r)-1 =-xS+x^22S^2
Elevando ao quadrado e ignorando termos de ordem maior que x^2
l(e^(R-r)/S-1r)^2 approxl(-tfracxSr)^2 =x^2S^2
Então
U(r)=Al[l(e^(R-r)/S-1r)^2-1r] approx Al[x^2S^2-1r] =-A+AS^2,x^2
Isso é da forma constante +tfrac12,k,x^2 se a gente igualar
tfrac12,k=AS^2 Longrightarrow k=2AS^2

Resposta

r₀=R e, para pequenos deslocamentos, Uapprox -A +tfrac12,k,x^2 com
k=2AS^2,

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