A energia potencial de dois átomos em uma molécula pode, algumas vezes, ser aproximada pela função de Morse,
onde
é a distância entre os dois átomos e
e
são constantes positivas, com
. Esboce o gráfico dessa função para
. Determine a separação de equilíbrio
na qual
é mínimo. Agora escreva
de modo que
seja o deslocamento a partir da posição de equilíbrio e mostre que, para pequenos deslocamentos,
tem a forma aproximada
const
. Ou seja, a lei de Hooke se aplica. Qual é a constante
da força?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a energia potencial de uma molécula pode ser descrita pela função de Morse
onde
é a distância entre os átomos e
com
.
O que a questão pede:
O que a questão pede:
- Esboçar o gráfico de
para . - Determinar a distância de equilíbrio
(mínimo de ). - Mostrar que, ao escrever
e para pequeno, aparece a forma de mola (lei de Hooke)
e encontrar
.
Pra resolver isso a gente vai precisar de derivadas (pra achar mínimo) e de série de Taylor (pra aproximar exponencial para deslocamentos pequenos).
Pra resolver isso a gente vai precisar de derivadas (pra achar mínimo) e de série de Taylor (pra aproximar exponencial para deslocamentos pequenos).
Passo 2
Primeiro, esboço e
:
- Quando
, , então e . - Quando
, , , daí
Ou seja, o gráfico vai lá em cima quando, desce até um mínimo, e depois sobe pra zero quando .
Agora achar
fazendo
:
- Calcule
:
então
- Zera isso:
Logo, a separação de equilíbrio é
Passo 3
Agora, escrevemos
, com
deslocamento pequeno. Então
Logo
(porque a série de Taylor de
em
é
).
Então dentro de :
Então dentro de
Elevando ao quadrado e ignorando termos de ordem maior que
dá
Então
Isso é da forma constante
se a gente igualar
Resposta
r₀=R e, para pequenos deslocamentos,
com