Na Seção 5.2, discutimos quatro maneiras distintas de representar o movimento de um oscilador hamônico simples unidimensional:
x(t) & =C1 e^i omega t+C2 e^-i omega t, & =B1 cos (omega t)+B2 sen(omega t), & =A cos (omega t-de
Para ter certeza de que você entendeu tudo isso, mostre que elas são equivalentes demonstrando as seguintes implicações: I Rightarrow II Rightarrow III Rightarrow IV Rightarrow I. Para cada fórmula, forneça uma expressão para as constantes ( C1, C2, etc.) em termos das constantes da fórmula anterior.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é mostrar que essas quatro maneiras de escrever a posição de um oscilador harmônico são a mesma coisa. O conteúdo é “representação de oscilações”: a gente vai usar a fórmula de Euler
e^itheta=costheta+isintheta
identidades trigonométricas e um pouco de álgebra de números complexos. O que precisamos saber:
- Como passar de expoencial complexa para seno/cosseno (fórmula de Euler).
- Como juntar duas funções seno/cosseno numa só com amplitude e fase.
- Como extrair a parte real de um expoencial complexo.
A partir do próximo passo, vamos fazer I ⇒ II ⇒ III ⇒ IV ⇒ I, achando expressões de cada constante em função da anterior.

Passo 2

I ⇒ II
Temos
x(t)=C1e^iomega t+C2e^-iomega t
Usando Euler:
e^iomega t=cos(omega t)+isin(omega t), e^-iomega t=cos(omega t)-isin(omega t),
então
x(t)=l(C1+C2r)cos(omega t)+il(C1-C2r)sin(omega t)
Isso casa com
x(t)=B1cos(omega t)+B2sin(omega t)
se definirmos
B1 = C1 + C2, B2 = i,l(C1 - C2r)

Passo 3

II ⇒ III
Agora partimos de
x(t)=B1cos(omega t)+B2sin(omega t)
Isso é a soma de dois vetores (um de amplitude B1 em coseno, outro B2 em seno). A gente sabe que isso é igual a um único cosseno deslocado:
x(t)=Acos(omega t-de
onde
A=raizB1^2+B2^2, de
(ajustando o quadrante corretamente).

Passo 4

III ⇒ IV
Temos
x(t)=Acos(omega t-de
Outra vez usamos Euler na forma inversa:
cos(omega t-de
Logo
x(t)=Rel[Ae^-ide
com
C = A,e^-ide

Passo 5

IV ⇒ I
Por fim, se
x(t)=Rel(C,e^iomega tr),
a gente escreve
C,e^iomega t=C,e^iomega t+C^*e^-iomega t2+C,e^iomega t-C^*e^-iomega t2,
mas só a parte real importa. O que dá, de forma direta:
x(t)=C,e^iomega t+C^*e^-iomega t2 =C1e^iomega t+C2e^-iomega t
com
C1=C2, C2=C^*2

Resposta

As relações entre as constantes são, então:
  1. De I ⇒ II:
    B1=C1+C2, B2=i,(C1-C2)
  2. De II ⇒ III:
    A=raizB1^2+B2^2, de
  3. De III ⇒ IV:
    C=A,e^-ide
  4. De IV ⇒ I:
    C1=tfracC2, C2=tfracC^*2

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