Na Seção 5.2, discutimos quatro maneiras distintas de representar o movimento de um oscilador hamônico simples unidimensional:
Para ter certeza de que você entendeu tudo isso, mostre que elas são equivalentes demonstrando as seguintes implicações:
. Para cada fórmula, forneça uma expressão para as constantes (
, etc.) em termos das constantes da fórmula anterior.
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é mostrar que essas quatro maneiras de escrever a posição de um oscilador harmônico são a mesma coisa. O conteúdo é “representação de oscilações”: a gente vai usar a fórmula de Euler
identidades trigonométricas e um pouco de álgebra de números complexos. O que precisamos saber:
- Como passar de expoencial complexa para seno/cosseno (fórmula de Euler).
- Como juntar duas funções seno/cosseno numa só com amplitude e fase.
- Como extrair a parte real de um expoencial complexo.
A partir do próximo passo, vamos fazer I ⇒ II ⇒ III ⇒ IV ⇒ I, achando expressões de cada constante em função da anterior.
Passo 2
I ⇒ II
Temos
Temos
Usando Euler:
então
Isso casa com
se definirmos
Passo 3
II ⇒ III
Agora partimos de
Agora partimos de
Isso é a soma de dois vetores (um de amplitude
onde
(ajustando o quadrante corretamente).
Passo 4
III ⇒ IV
Temos
Temos
Outra vez usamos Euler na forma inversa:
Logo
com
Passo 5
IV ⇒ I
Por fim, se
Por fim, se
a gente escreve
mas só a parte real importa. O que dá, de forma direta:
com
Resposta
As relações entre as constantes são, então:
- De I ⇒ II:
- De II ⇒ III:
- De III ⇒ IV:
- De IV ⇒ I: