Uma mola de massa desprezível tem um comprimento
, quando não distendida, e constante de força
. Um extremo está agora preso ao teto e uma massa
está pendurada na outra extremidade. O comprimento de equilíbrio da mola é agora
. (a) Escreva a condição que determina
. Suponha agora que a mola esteja distendida por uma distância
além do seu comprimento de equilíbrio. Mostre que a força resultante (mola mais gravidade) sobre a massa é
. Ou seja, a força resultante obedece à lei de Hooke, quando
é a distância a partir da posição de equilíbrio - um resultado bastante útil que nos permite tratar a massa em uma mola vertical exatamente como se estivesse na horizontal. (b) Demonstre o mesmo resultado mostrando que a energia potencial resultante (mola mais gravidade) tem a forma
const
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema envolvendo uma mola com comprimento original $ l_0 $ e constante de força $ k $. Uma massa $ m $ está pendurada na mola, fazendo com que ela se estenda até um novo comprimento de equilíbrio $ l_1 $. O conteúdo principal aqui é a Lei de Hooke e o equilíbrio de forças em sistemas de mola. Para resolver, vamos precisar entender como as forças da mola e da gravidade interagem e como isso afeta a extensão da mola.
Passo 2
Primeiro, vamos abordar a parte (a) do exercício. Para encontrar a condição que determina $ l_1 $, precisamos analisar o equilíbrio das forças quando a mola está esticada pela massa $ m $. No equilíbrio, a força exercida pela mola é igual à força da gravidade que age sobre a massa.
A força da mola é dada por $ F_{mola} = k \cdot \Delta l $, onde $ \Delta l $ é a extensão da mola. A força da gravidade é $ F_{gravidade} = m \cdot g $, onde $ g $ é a aceleração da gravidade.
No equilíbrio:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte da (a). Suponha que a mola seja estendida além do equilíbrio por uma distância $ x $. A força resultante sobre a massa será a soma da força da mola e da força da gravidade.
A força da mola agora é $ F_{mola} = k \cdot (l_1 + x - l_0) $.
Mas sabemos que $ k \cdot (l_1 - l_0) = m \cdot g $ do equilíbrio, então:
Mas sabemos que $ k \cdot (l_1 - l_0) = m \cdot g $ do equilíbrio, então:
A força resultante será:
Então, a força resultante é $ F = -k \cdot x $, onde o sinal negativo indica que a força está na direção oposta à extensão.
Passo 4
Passando para a parte (b), queremos demonstrar que a energia potencial resultante é $ U(x) = constante + \frac{1}{2} k x^2 $.
A energia potencial da mola é dada por:
A energia potencial gravitacional é:
onde $ h $ é a altura, que neste caso está relacionada à extensão $ x $ da mola: $ h = -x $ (já que a massa desce quando a mola se estica).
Então:
No equilíbrio, $ m \cdot g = k \cdot (l_1 - l_0) $, então podemos substituir:
A energia potencial total é:
Podemos considerar a constante como zero para simplificar, chegando a:
Isso mostra que a energia potencial resultante segue a forma $ U(x) = const + \frac{1}{2} k x^2 $.
Resposta
A força resultante sobre a massa é $ F = -k \cdot x $ e a energia potencial resultante é $ U(x) = constante + \frac{1}{2} k x^2 $.