Uma partícula possui movimento unidimensional numa região onde a força é
. Sabendo-se que a energia potencial na origem é zero, determine a energia potencial. Em que região a força que atua na partícula é positiva?
Passo 1
Vamos lá! Temos uma partícula que se move em uma direção única, onde a força que age sobre ela é dada por $ \vec{F}(x) = (3x^{2} - 6x) \hat{x}
x = 0 $) a energia potencial é zero. Além disso, queremos saber em qual região essa força é positiva. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre força e energia potencial, e integrar a expressão da força para encontrar a energia potencial.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a energia potencial $ U(x) $ está relacionada à força $ F(x) $ pela equação:
Isso significa que para encontrar $ U(x) $, temos que integrar a força em relação a $ x $.
Passo 3
Vamos reescrever a equação:
Substituindo a força dada:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a $ x $ para encontrar $ U(x) $:
Integrando termo a termo:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 5
Sabemos que na origem ($ x = 0 $), a energia potencial é zero:
Então, a energia potencial é:
Passo 6
Agora, para encontrar em qual região a força é positiva, analisamos onde $ F(x) > 0 $:
Fatorando:
Isso ocorre quando ambos os fatores são positivos ou ambos são negativos. Analisando as raízes $ x = 0 $ e $ x = 2 $, concluímos que a força é positiva para:
Resposta
A energia potencial da partícula é $ U(x) = -x^{3} + 3x^{2} $. A força que atua na partícula é positiva nas regiões onde $ x < 0 $ ou $ x > 2 $.