Uma partícula possui movimento unidimensional numa região onde a força é F(x)= (3 x^2-6 x) x. Sabendo-se que a energia potencial na origem é zero, determine a energia potencial. Em que região a força que atua na partícula é positiva?

Passo 1

Vamos lá! Temos uma partícula que se move em uma direção única, onde a força que age sobre ela é dada por $ \vec{F}(x) = (3x^{2} - 6x) \hat{x} F(x) = (3x^2 - 6x) x éí x = 0 $) a energia potencial é zero. Além disso, queremos saber em qual região essa força é positiva. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre força e energia potencial, e integrar a expressão da força para encontrar a energia potencial.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a energia potencial $ U(x) $ está relacionada à força $ F(x) $ pela equação:
U(x)
Isso significa que para encontrar $ U(x) $, temos que integrar a força em relação a $ x $.

Passo 3

Vamos reescrever a equação:
dUdx = -F(x)
Substituindo a força dada:
dUdx = -(3x^2 - 6x)
dUdx = -3x^2 + 6x

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a $ x $ para encontrar $ U(x) $:
x
Integrando termo a termo:
U(x)
U(x) = integral (-3x^2 + 6x) , dx
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 5

Sabemos que na origem ($ x = 0 $), a energia potencial é zero:
x = 0
U(0) = -0^3 + 3 times 0^2 + C = 0
Então, a energia potencial é:
C = 0

Passo 6

Agora, para encontrar em qual região a força é positiva, analisamos onde $ F(x) > 0 $:
F(x) > 0
Fatorando:
3x^2 - 6x > 0
Isso ocorre quando ambos os fatores são positivos ou ambos são negativos. Analisando as raízes $ x = 0 $ e $ x = 2 $, concluímos que a força é positiva para:
3x(x - 2) > 0

Resposta

A energia potencial da partícula é $ U(x) = -x^{3} + 3x^{2} $. A força que atua na partícula é positiva nas regiões onde $ x < 0 $ ou $ x > 2 $.

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