A máquina de Atwood figura 1(b)), possui uma massa M e outra m, conectadas por uma corda muito leve que passa através de uma roldana de massa desprezível. Quando o aparato S é retirado, o bloco M cai uma altura d a partir do repouso. (a) Do ponto de vista de energia, explique o que acontece com a energia do sistema enquanto o bloco M desce. Por exemplo, comece descrevendo o sistema. Existe energia inicial? Qual é? Qual é a energia final? O que acontece com a energia cinética? Ela aumenta ou diminui? (b) Encontre uma expressão para a velocidade do bloco M quando este chega ao solo depois de viajar a distância d.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma máquina de Atwood com duas massas, M e m, ligadas por uma corda que passa por uma roldana. Quando a máquina é solta, a massa M começa a descer uma altura d. A matéria envolvida aqui é a energia mecânica e cinemática. Vamos precisar entender como a energia potencial e cinética se comportam nesse sistema e usar as equações de movimento para encontrar a velocidade final do bloco M.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte (a) da questão, que pede para explicar o que acontece com a energia do sistema enquanto o bloco M desce. Inicialmente, o sistema está em repouso, então a energia inicial é toda energia potencial gravitacional. Essa energia se dá pela posição do bloco M em relação ao solo.

Passo 3

A energia potencial gravitacional ( U) é dada por:
U = mgh
onde m é a massa, g é a aceleração da gravidade e h é a altura. No nosso caso, a energia inicial ( Ui) do sistema é:
Ui = M cdot g cdot d
porque M está a uma altura d.

Passo 4

Quando o bloco M desce, essa energia potencial é convertida em energia cinética ( K). A energia cinética é dada por:
K = 12mv^2
Então, conforme M desce, a energia potencial diminui e a energia cinética aumenta. A energia total do sistema é conservada, assumindo que não há perdas por atrito ou outras forças.

Passo 5

Agora, na parte (b), vamos encontrar a expressão para a velocidade do bloco M quando ele chega ao solo depois de descer a distância d. Vamos usar a conservação da energia mecânica:
Ui = Kf
onde Ui é a energia inicial e Kf é a energia cinética final.

Passo 6

Substituindo as expressões de energia:
M cdot g cdot d = 12M v^2
Aqui, estamos considerando que toda a energia potencial é convertida em energia cinética do bloco M.

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação para v:
M cdot g cdot d = 12M v^2
Cancelando M dos dois lados:
g cdot d = 12v^2

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por 2:
2gd = v^2
E para encontrar v, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
v = raiz2gd

Resposta

A velocidade do bloco M quando ele chega ao solo após descer a distância d é:
v = raiz2gd

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