A energia potencial de uma molécula diatômica (um sistema de dois átomos, como
) é dada por
em que
é a distância entre os átomos da molécula e
e
são constantes positivas. Essa energia potencial está associada à força de ligação entre os dois átomos.
c) Determine o intervalo de distâncias em que a força é repulsiva (justifique com argumentos físicos e matemáticos).
c) Determine o intervalo de distâncias em que a força é repulsiva (justifique com argumentos físicos e matemáticos).
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma molécula diatômica, que é um sistema com dois átomos ligados, como o
ou
. A energia potencial dessa molécula é dada pela fórmula:
Aqui,
é a distância entre os dois átomos, e
e
são constantes positivas. Queremos encontrar o intervalo de distâncias
em que a força entre os átomos é repulsiva. Para isso, vamos precisar entender como relacionar a energia potencial com a força.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força
está relacionada com a energia potencial
pela derivada negativa:
Então, vamos calcular a derivada de
em relação a
.
Passo 3
A derivada de
em relação a
é:
Portanto, a força é:
Passo 4
Queremos encontrar quando a força é repulsiva. Isso acontece quando
. Então, vamos resolver a inequação:
Passo 5
Vamos simplificar a inequação:
Dividindo ambos os lados por 6:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, isolamos
:
Passo 7
Extraindo a raiz sexta de ambos os lados, obtemos a condição para
:
Resposta
A força entre os átomos é repulsiva para distâncias menores que
. Ou seja, o intervalo de distâncias onde a força é repulsiva é: