Enfrentando problemas de fluxo de caixa, um empresário procurou uma instituição financeira para renegociar os pagamentos que deveria realizar em determinado período. Os pagamentos seriam: 5.500,00 í\mathrm{R} $17.500,00 í\mathrm{R} $ 25.500,00 í\mathrm{R} $10.000,00 \mathrm{em} 60 \mathrm{R} $ 30.000,00 \mathrm{em} 90 2,0 %$ a.m. a taxa de juros simples adotada pelo banco, calcule o valor do último pagamento. Resposta: 9.172, 81 (Camargos, pág. 43, Ex. 23).

Passo 1

Vamos usar equivalência de fluxos de caixa com juros simples a 2,0% ao mês. Escolhemos tempo zero como referência e convertemos dias em meses por t=dias30. A fórmula do valor presente (PV) de um pagamento F em t meses é
PV=F1+i,t

Passo 2

Calculamos o valor presente dos três pagamentos originais:
PV1=5,5001+0,02cdot1630, PV2=17,5001+0,02cdot4830, PV3=25,5001+0,02cdot9330
Numericamente:
PV1approx5,441,98, PV2approx16,967,36, PV3approx24,000,82,
logo o total original é
PVorig=PV1+PV2+PV3approx46,410,16

Passo 3

Agora o valor presente das duas primeiras parcelas da nova proposta:
PV60=10,0001+0,02cdot6030=10,0001,04approx9,615,38,
PV90=30,0001+0,02cdot9030=30,0001,06approx28,301,89

Passo 4

Igualando o total de PVs originais ao total de PVs propostos, temos
PVorig=PV60+PV90+PV120,
onde
PV120=PVorig-PV60-PV90approx46,410,16-9,615,38-28,301,89approx8,492,89

Passo 5

Finalmente, convertemos esse PV120 em montante X a 120 dias ( t=tfrac12030=4 meses):
X=PV120,l(1+0,02cdot4r)=8,492,89times1,08approx9,172,81

Resposta

O valor do último pagamento é de R$ 9172,81.

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