Em engenharia aeronáutica, o arrasto
de uma aeronave pode ser modelado por:
onde:
-
é o arrasto parasita (constante),
-
ê uma constante relacionada à geometria da aeronave e à densidade do ar,
- v é a velocidade da aeronave.
Para otimizar o desempenho de voo, um engenheiro utiliza uma sequência de velocidades de teste
definidas por:
Resolver os seguintes itens:
(a) ( 1.0 ponto) Mostre que
é monótona crescente e limitada superiormente.
(b) ( 0.5 ponto) Calcule
e dê uma interpretação para o valor obtido.
(c) (1.0 ponto) Seja
. Mostre que
é convergente e determine seu limite.
(a) ( 1.0 ponto) Mostre que
(b) ( 0.5 ponto) Calcule
(c) (1.0 ponto) Seja
Passo 1
O enunciado define uma sequência de velocidades
e pede para mostrar que ela é monótona crescente e limitada, calcular seu limite, e depois estudar a sequência de arrastos
. Vamos usar conceitos de comparação de potências, limites de sequência e continuidade da função de arrasto.
Passo 2
Para mostrar que
é monótona crescente, calculamos a diferença
:
Como
para todo
e
, segue que
. Logo,
é crescente.
Passo 3
Para ver que
é limitada superiormente, basta observar que para todo
,
Assim,
é um majorante de
.
Passo 4
Para calcular o limite de
, notamos que
e, portanto,
Isso faz sentido fisicamente: a sequência de velocidades se aproxima da velocidade máxima teoricamente disponível.
Passo 5
Agora, como
é função contínua de
, a sequência
também converge, e seu limite é dado por substituir o limite de
em
: