Em engenharia aeronáutica, o arrasto D de uma aeronave pode ser modelado por:
D(v)=D0+alpha v^2
onde:
  • D0>0 é o arrasto parasita (constante),
  • alpha>0 ê uma constante relacionada à geometria da aeronave e à densidade do ar,
  • v é a velocidade da aeronave.
Para otimizar o desempenho de voo, um engenheiro utiliza uma sequência de velocidades de teste vn definidas por:
vn=vmax (1-1n^beta), n >= 1 (inteiro) , beta>0
Resolver os seguintes itens:
(a) ( 1.0 ponto) Mostre que vn é monótona crescente e limitada superiormente.
(b) ( 0.5 ponto) Calcule lim n infty vn e dê uma interpretação para o valor obtido.
(c) (1.0 ponto) Seja Dn=D(vn). Mostre que Dn é convergente e determine seu limite.

Passo 1

O enunciado define uma sequência de velocidades vn = vmaxl(1 - n^-betar) e pede para mostrar que ela é monótona crescente e limitada, calcular seu limite, e depois estudar a sequência de arrastos Dn = D(vn). Vamos usar conceitos de comparação de potências, limites de sequência e continuidade da função de arrasto.

Passo 2

Para mostrar que vn é monótona crescente, calculamos a diferença vn+1 - vn:
vn+1 - vn = vmaxl(1 - (n+1)^-betar) - vmaxl(1 - n^-betar) = vmaxl(n^-beta - (n+1)^-betar)
Como n^-beta > (n+1)^-beta para todo n>=1 e beta>0, segue que vn+1 - vn >0. Logo, vn é crescente.

Passo 3

Para ver que vn é limitada superiormente, basta observar que para todo n,
vn = vmaxl(1 - n^-betar) < vmaxcdot 1 = vmax
Assim, vmax é um majorante de vn.

Passo 4

Para calcular o limite de vn, notamos que
limntoinfty n^-beta = 0
e, portanto,
limntoinfty vn = vmaxl(1 - 0r) = vmax
Isso faz sentido fisicamente: a sequência de velocidades se aproxima da velocidade máxima teoricamente disponível.

Passo 5

Agora, como D(v)=D0 + alpha v^2 é função contínua de v, a sequência Dn = D(vn) também converge, e seu limite é dado por substituir o limite de vn em D(v):
limntoinftyDn = D0 + alphal(limntoinftyvnr)^2 = D0 + alpha vmax^2

Resposta

limntoinftyDn = D0 + alpha vmax^2

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