Use a diferenciação implícita para determinar partial zpartial x e partial zpartial y.
y z=ln (x+z)

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
y,z = ln(x+z)
e pede partial z/partial x e partial z/partial y, sabendo que z=z(x,y). Vamos usar diferenciação implícita, tratando em cada caso uma variável como independente e a outra como constante.

Passo 2

Diferenciando em relação a x (isto é, y constante e zx=partial z/partial x), temos
partialpartial xl(y,zr) = partialpartial xl[ln(x+z)r]
No lado esquerdo surge
y,zx,
e no direito, pela regra da cadeia,
1x+zl(1 + zxr)
Logo
y,zx = 1 + zxx+z
Multiplicando por x+z e agrupando zx:
y(x+z),zx = 1 + zx Longrightarrow zxl(y(x+z)-1r)=1 Longrightarrow zx = 1y(x+z)-1

Passo 3

Agora diferenciamos em relação a y (isto é, x constante e zy=partial z/partial y):
partialpartial yl(y,zr) = partialpartial yl[ln(x+z)r]
No lado esquerdo a derivada de y,z é
z + y,zy,
e no direito, pela cadeia,
1x+z,zy
Isto dá
z + y,zy = zyx+z
Reagrupando zy:
y,zy - zyx+z = -,z Longrightarrow zyl(y - tfrac1x+zr) = -z
Como y - tfrac1x+z=y(x+z)-1x+z, segue
zy = -,z,(x+z),y(x+z)-1,

Resposta

partial zpartial x = 1y(x+z)-1, partial zpartial y = -,z,(x+z)y(x+z)-1

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