Use a diferenciação implícita para determinar partial zpartial x e partial zpartial y.
x^2+y^2+z^2=3 x y z

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida implicitamente por
x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz
e pede as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y. O conteúdo aqui é diferenciação implícita em funções de duas variáveis; vamos usar a regra da cadeia e, ao derivar em relação a x, tratar y como constante (e vice-versa para a derivada em relação a y).

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x (com y constante) temos
partialpartial xl(x^2+y^2+z^2r) =partialpartial x(3xyz)
No lado esquerdo
partialpartial x(x^2)=2x, partialpartial x(y^2)=0, partialpartial x(z^2)=2z,partial zpartial x,
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2x + 2z,partial zpartial x
No lado direito, y é constante, então
partialpartial x(3xyz) =3y;partialpartial x(x,z) =3yl(z + x,tfracpartial zpartial xr) =3yz + 3xy,partial zpartial x
Igualando e isolando partial z/partial x:
2x + 2z,partial zpartial x =3yz + 3xy,partial zpartial x Longrightarrow (2z - 3xy),partial zpartial x =3yz - 2x
boxedpartial zpartial x =3yz - 2x,2z - 3xy,

Passo 3

Agora derivamos em relação a y (com x constante):
partialpartial yl(x^2+y^2+z^2r) =partialpartial y(3xyz)
Lado esquerdo:
partialpartial y(x^2)=0, partialpartial y(y^2)=2y, partialpartial y(z^2)=2z,partial zpartial y,
totalizando 2y + 2z,partial z/partial y. Lado direito:
partialpartial y(3xyz) =3x;partialpartial y(y,z) =3xl(z + y,tfracpartial zpartial yr) =3xz + 3xy,partial zpartial y
Igualando e isolando partial z/partial y:
2y + 2z,partial zpartial y =3xz + 3xy,partial zpartial y Longrightarrow (2z - 3xy),partial zpartial y =3xz - 2y
boxedpartial zpartial y =3xz - 2y,2z - 3xy,

Resposta

partial zpartial x=3yz - 2x2z - 3xy, partial zpartial y=3xz - 2y2z - 3xy

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